O conjunto de todos os valores de q in R para os quais a função f(x)=x^3-3 x^2+q assume o valor raiz2 no intervalo [1,2] é

Passo 1

O enunciado pede os valores de q para os quais existe x em [1,2] tal que f(x)=√2, onde f(x)=x³−3x²+q. Vamos usar a ideia de expressar q em função de x e estudar para quais q essa equação tem solução no intervalo, aplicando o Teorema do Valor Intermediário e análise de intervalo de uma função.

Passo 2

Isolando q na equação f(x)=√2, temos
q=raiz2 -x^3+3x^2

Passo 3

Definimos então a função g(x)=√2+3x²−x³, de modo que f(x)=√2 ⇔ q=g(x). Nosso objetivo é encontrar o conjunto imagem de g em [1,2].

Passo 4

Para estudar a monotonicidade, calculamos a derivada
g'(x)=6x-3x^2=3x(2-x)

Passo 5

Em x∈[1,2], temos 3x(2−x)≥0, estritamente positiva em [1,2) e zero em x=2. Portanto g é crescente em [1,2].

Passo 6

Como g é crescente, seu valor mínimo ocorre em x=1 e o máximo em x=2. Calculamos:
g(1)=raiz2+3cdot1^2-1^3=2+raiz2,
g(2)=raiz2+3cdot2^2-2^3=4+raiz2

Passo 7

Logo, o conjunto de todos os q para os quais existe x em [1,2] com f(x)=√2 é o intervalo fechado de 2+√2 até 4+√2.

Resposta

[2+\sqrt2,,4+\sqrt2]

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