O conjunto de todos os valores de
para os quais a função
assume o valor
no intervalo [1,2] é
Passo 1
O enunciado pede os valores de q para os quais existe x em [1,2] tal que f(x)=√2, onde f(x)=x³−3x²+q. Vamos usar a ideia de expressar q em função de x e estudar para quais q essa equação tem solução no intervalo, aplicando o Teorema do Valor Intermediário e análise de intervalo de uma função.
Passo 2
Isolando q na equação f(x)=√2, temos
Passo 3
Definimos então a função g(x)=√2+3x²−x³, de modo que f(x)=√2 ⇔ q=g(x). Nosso objetivo é encontrar o conjunto imagem de g em [1,2].
Passo 4
Para estudar a monotonicidade, calculamos a derivada
Passo 5
Em x∈[1,2], temos 3x(2−x)≥0, estritamente positiva em [1,2) e zero em x=2. Portanto g é crescente em [1,2].
Passo 6
Como g é crescente, seu valor mínimo ocorre em x=1 e o máximo em x=2. Calculamos:
Passo 7
Logo, o conjunto de todos os q para os quais existe x em [1,2] com f(x)=√2 é o intervalo fechado de 2+√2 até 4+√2.
Resposta
[2+\sqrt2,,4+\sqrt2]