O lim x 0 4 xraiz[3]8+x-raiz[3]8-x é igual a

Passo 1

O problema pede para calcular o limite limxto04xraiz[3]8+x-raiz[3]8-x. O conteúdo envolve limites indeterminados do tipo 0/0 e vamos usar a técnica de racionalização de expressão com raízes cúbicas, baseada na fatoração de diferença de cubos.

Passo 2

Se tentarmos a substituição direta x=0, o numerador fica 4cdot0=0 e o denominador fica raiz[3]8-raiz[3]8=0, ou seja, temos uma indeterminação 0/0. Para resolver, aplicamos a fatoração de diferença de cubos: (a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3.

Passo 3

Definimos a=raiz[3]8+x e b=raiz[3]8-x. Multiplicamos numerador e denominador por a^2+ab+b^2. No denominador:
(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3=(8+x)-(8-x)=2x
No numerador fica
4x,(a^2+ab+b^2)

Passo 4

Agora simplificamos x em cima e embaixo:
4x,(a^2+ab+b^2)2x=2,(a^2+ab+b^2)
No limite xto0, temos a,btoraiz[3]8=2, logo
a^2+ab+b^2=4+4+4=12
e o limite vale
2times12=24

Resposta

24

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