Seja z=f(x, y), onde f é uma função diferenciável de duas variáveis, e suponha que
x=u+v, \quad y=u-v .
Usando a regra da cadeia, determine \frac{\partial z}{\partial u} e \frac{\partial z}{\partial v} em função das derivadas parciais de f.

Passo 1

O enunciado dá as transformações entre as variáveis:
x = u + v,\qquad y = u - v,
e define z = f(x,y), onde f é diferenciável de duas variáveis.
O que se pede: determinar \dfrac{\partial z}{\partial u} e \dfrac{\partial z}{\partial v} em termos das derivadas parciais de f.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função f tem derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} em todos os pontos considerados.
  • As expressões de x e y em função de u e v foram dadas explicitamente.

Passo 2

Explicação da regra da cadeia (forma básica que vamos usar). Se z = f(x(u,v),y(u,v)) e f é diferenciável, então ao variar u (com v fixo) a variação de z é dada por:
\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial u}.
Aqui cada símbolo significa:
  • \dfrac{\partial f}{\partial x} é a derivada parcial de f em relação a x, avaliada no ponto (x,y).
  • \dfrac{\partial f}{\partial y} é a derivada parcial de f em relação a y, avaliada no ponto (x,y).
  • \dfrac{\partial x}{\partial u} e \dfrac{\partial y}{\partial u} são as derivadas das transformações x(u,v) e y(u,v).
    A mesma fórmula vale para a derivada em relação a v:
\frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial v}.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de x e y em relação a u e v a partir das fórmulas fornecidas:
x(u,v)=u+v,\qquad y(u,v)=u-v.
Derivando em relação a u (mantendo v fixo):
\frac{\partial x}{\partial u}=1,\qquad \frac{\partial y}{\partial u}=1.

Passo 4

Substituir esses valores na fórmula da cadeia para \dfrac{\partial z}{\partial u}. Usando a expressão do Passo 2:
\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial f}{\partial x}\cdot 1 + \frac{\partial f}{\partial y}\cdot 1 = \frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y},
lembrando que as derivadas parciais de f acima devem ser avaliadas no ponto (x,y)=(u+v,\;u-v). Em notação explícita:
\frac{\partial z}{\partial u}(u,v) = \frac{\partial f}{\partial x}\bigl(u+v,\;u-v\bigr) + \frac{\partial f}{\partial y}\bigl(u+v,\;u-v\bigr).

Passo 5

Agora calcular \dfrac{\partial z}{\partial v}. Primeiro as derivadas de x e y em relação a v:
\frac{\partial x}{\partial v}=1,\qquad \frac{\partial y}{\partial v}=-1.

Passo 6

Substituir na fórmula da cadeia para \dfrac{\partial z}{\partial v}:
\frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial f}{\partial x}\cdot 1 + \frac{\partial f}{\partial y}\cdot (-1) = \frac{\partial f}{\partial x}-\frac{\partial f}{\partial y},
novamente avaliando as derivadas parciais de f no ponto (x,y)=(u+v,\;u-v). Em notação explícita:
\frac{\partial z}{\partial v}(u,v) = \frac{\partial f}{\partial x}\bigl(u+v,\;u-v\bigr) - \frac{\partial f}{\partial y}\bigl(u+v,\;u-v\bigr).

Passo 7

Método alternativo (curto, para fixar a intuição): usar diferenciais. Como dz=\dfrac{\partial f}{\partial x}\,dx+\dfrac{\partial f}{\partial y}\,dy e dx=du+dv,\;dy=du-dv, substitui-se:
dz=\frac{\partial f}{\partial x}(du+dv)+\frac{\partial f}{\partial y}(du-dv).
Agrupando termos em du e dv:
dz=\biggl(\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}\biggr)du +\biggl(\frac{\partial f}{\partial x}-\frac{\partial f}{\partial y}\biggr)dv.
Os coeficientes de du e dv são exatamente \dfrac{\partial z}{\partial u} e \dfrac{\partial z}{\partial v}, respectivamente, confirmando os resultados anteriores.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial u}(u,v)=\frac{\partial f}{\partial x}\bigl(u+v,\;u-v\bigr)+\frac{\partial f}{\partial y}\bigl(u+v,\;u-v\bigr)
\frac{\partial z}{\partial v}(u,v)=\frac{\partial f}{\partial x}\bigl(u+v,\;u-v\bigr)-\frac{\partial f}{\partial y}\bigl(u+v,\;u-v\bigr)

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