Seja
, onde
é uma função diferenciável de duas variáveis, e suponha que
Usando a regra da cadeia, determine
e
em função das derivadas parciais de
.
Passo 1
O enunciado dá as transformações entre as variáveis:
e define
, onde
é diferenciável de duas variáveis.
O que se pede: determinar e
em termos das derivadas parciais de
.
Informações relevantes fornecidas:
O que se pede: determinar
Informações relevantes fornecidas:
- A função
tem derivadas parciais e em todos os pontos considerados. - As expressões de
e em função de e foram dadas explicitamente.
Passo 2
Explicação da regra da cadeia (forma básica que vamos usar). Se
e
é diferenciável, então ao variar
(com
fixo) a variação de
é dada por:
Aqui cada símbolo significa:
-
é a derivada parcial de em relação a , avaliada no ponto . -
é a derivada parcial de em relação a , avaliada no ponto . -
e são as derivadas das transformações e .
A mesma fórmula vale para a derivada em relação a:
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
e
a partir das fórmulas fornecidas:
Derivando em relação a
(mantendo
fixo):
Passo 4
Substituir esses valores na fórmula da cadeia para
. Usando a expressão do Passo 2:
lembrando que as derivadas parciais de
acima devem ser avaliadas no ponto
. Em notação explícita:
Passo 5
Agora calcular
. Primeiro as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 6
Substituir na fórmula da cadeia para
:
novamente avaliando as derivadas parciais de
no ponto
. Em notação explícita:
Passo 7
Método alternativo (curto, para fixar a intuição): usar diferenciais. Como
e
, substitui-se:
Agrupando termos em
e
:
Os coeficientes de
e
são exatamente
e
, respectivamente, confirmando os resultados anteriores.