1. (FUNCERN/IFRN, Edital 01/2025) Considere uma região no espaço onde existe um campo elétrico variável no tempo, dado por:
E_{Y}=(6,0 \mathrm{~V} / \mathrm{m}) \operatorname{sen}\left[\left(1,0 \times 10^{4} \mathrm{~m}^{-1}\right) z+\omega t\right] .
Considerando a velocidade da luz no espaço igual a 3 \times 108 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, a expressão para a componente
magnética da onda, incluindo o valor de \omega, é
(a) B_{Y}=\left(6,0 \times 10^{-8} \mathrm{~T}\right) \operatorname{sen}\left[\left(1,0 \times 10^{4} \mathrm{~m}^{-1}\right) \mathrm{z}+\left(1 \times 10^{12} \mathrm{~s}^{-1}\right) . \mathrm{t}\right].
(b) B_{X}=\left(2,0 \times 10^{-8} T\right) \operatorname{sen}\left[\left(1,0 \times 10^{4} m^{-1}\right) z+\left(3 \times 10^{12} s^{-1}\right) . t\right].
(c) B_{Z}=(6,0 \mathrm{~V} / \mathrm{m}) \operatorname{sen}\left[\left(1,0 \times 10^{4} \mathrm{~m}^{-1}\right) z+\left(1 \times 10^{12} \mathrm{~s}^{-1}\right) . t\right].
(d) B_{Y}=\left(2,0 \times 10^{-8} \mathrm{~V} / \mathrm{m}\right) \operatorname{sen}\left[\left(1,0 \times 10^{4} \mathrm{~m}^{-1}\right) \mathrm{z}+\left(1 \times 10^{12} \mathrm{~s}^{-1}\right) . \mathrm{t}\right].

Passo 1

O enunciado dá o campo elétrico
E_Y = \bigl(6,0\\ \mathrm{V/m}\bigr)\,\sin\bigl[(1,0\times10^4\\ \mathrm{m}^{-1})\,z + \omega\,t\bigr]
de uma onda no vácuo (com c=3\times10^8\\ \mathrm{m/s}). Pede-se a componente magnética \mathbf B, seu módulo, direção e o valor de \omega.

Passo 2

Pela relação de dispersão de uma onda eletromagnética no vácuo,
\omega = c\,k
onde k = 1,0\times10^4\\ \mathrm{m}^{-1}. Logo
\omega = (3\times10^8\\ \mathrm{m/s})\,(1,0\times10^4\\ \mathrm{m}^{-1}) = 3,0\times10^{12}\\ \mathrm{s}^{-1}.

Passo 3

O módulo da componente magnética vem de
B_0 = \frac{E_0}{c}
com E_0 = 6,0\\ \mathrm{V/m}, dá
B_0 = \frac{6,0}{3\times10^8}\,\mathrm{T} = 2,0\times10^{-8}\\ \mathrm{T}.

Passo 4

O argumento da senoide é (k z + \omega t), indicando que a onda se propaga no sentido negativo de z. A direção de \mathbf B deve satisfazer \mathbf S=\mathbf E\times\mathbf B apontando nesse sentido. Como \mathbf E está em y, \mathbf B deve estar em x para que
\hat y \times \hat x = -\,\hat z.

Passo 5

Reunindo tudo, a componente magnética é
B_X = \bigl(2,0\times10^{-8}\\ \mathrm{T}\bigr)\, \sin\Bigl[\,(1,0\times10^4\\ \mathrm{m}^{-1})\,z + (3,0\times10^{12}\\ \mathrm{s}^{-1})\,t\Bigr].

Resposta

(b) B_X = \bigl(2,0\times10^{-8}\\ \mathrm{T}\bigr)\sin\bigl[(1,0\times10^4\\ \mathrm{m}^{-1})z + (3,0\times10^{12}\\ \mathrm{s}^{-1})t\bigr].

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