(FUNCERN/IFRN, Edital 05/2014) A posição de uma partícula \vec{r} em função do tempo \vec{r}=(40-20 t) \hat{\imath}+\left(60-5 t^{2}\right) \hat{\jmath} é representada pela equação abaixo.
Considerando \hat{\imath} e \hat{\jmath}, vetores unitários e perpendiculares entre si, é correto afirmar que:
(a) a trajetória dessa partícula é um arco de circunferência.
(b) o momento linear dessa partícula se conserva.
(c) o movimento dessa partícula é uniforme.
(d) a força resultante sobre essa partícula é constante.

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula
\vec{r}(t) = (40 - 20\,t)\,\hat{\imath} + \bigl(60 - 5\,t^{2}\bigr)\,\hat{\jmath}
e pergunta sobre a forma da trajetória, conservação do momento linear, uniformidade do movimento e natureza da força resultante. Vamos usar conceitos de cinemática vetorial: eliminar t para achar a curva y(x), calcular \vec{v}(t) e \vec{a}(t) para ver se a velocidade é constante e se a força \vec{F}=m\vec{a} é constante.

Passo 2

Para ver a forma da trajetória, escrevemos
x = 40 - 20\,t \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{40 - x}{20}
e substituímos em y(t):
y = 60 - 5\,\Bigl(\frac{40 - x}{20}\Bigr)^{2} = 60 - \frac{5}{400}\,(40 - x)^{2} = 60 - \frac{1}{80}\,(40 - x)^{2}.
Isso é a equação de uma parábola, não de um arco de circunferência. Logo a) é falsa.

Passo 3

Calculamos a velocidade
\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt} = -20\,\hat{\imath} \;+\; (-10\,t)\,\hat{\jmath}.
Como o componente em \hat{\jmath} depende de t, a velocidade não é constante, o movimento não é uniforme (c) é falso. E o momento \vec{p}=m\vec{v} varia com t, então não se conserva (b) é falso.

Passo 4

Derivando de novo, obtemos a aceleração
\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = 0\,\hat{\imath} \;+\; (-10)\,\hat{\jmath},
que é um vetor constante. Portanto a força resultante \vec{F}=m\,\vec{a} também é constante, fazendo (d) ser a única afirmativa correta.

Resposta

(d)

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