Um funcionário de uma empresa de transportes precisa erguer uma caixa de 240 kg para colocá-la em uma plataforma elevada. Para isso, ele decide usar uma barra rígida de dois metros e um suporte fixo que será posicionado abaixo da barra, transformando-a em uma alavanca. O funcionário, com massa de 80 kg , posiciona-se em uma das extremidades da barra, enquanto a caixa está localizada na outra extremidade. Ele então aplica todo o seu peso para equilibrar horizontalmente a caixa, permitindo que um colega a empurre rapidamente para a plataforma. Qual é a distância entre o ponto de apoio (suporte) e a extremidade da barra onde está localizada a caixa?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
- Dados:
- Massa da caixa:
. - Massa do funcionário:
. - Comprimento total da barra (distância entre as extremidades):
. - O funcionário fica em uma extremidade da barra e a caixa na outra extremidade.
- Um suporte (ponto de apoio) é colocado em algum ponto entre as extremidades, transformando a barra em uma alavanca em equilíbrio horizontal quando o funcionário aplica todo o seu peso.
- Massa da caixa:
- Pergunta:
- Qual é a distância entre o ponto de apoio e a extremidade da barra onde está a caixa?
Passo 2
Entendendo o que precisamos usar (sem formalidades complicadas): para que a barra fique em equilíbrio horizontal, os torques (momentos) provocados pelos pesos do funcionário e da caixa em relação ao ponto de apoio devem se cancelar — ou seja, o momento (torque) do funcionário em um sentido deve ser igual ao momento da caixa no sentido oposto.
Vou definir variáveis simples:
- Seja
a distância entre o ponto de apoio e a extremidade onde está a caixa — é exatamente o que o problema pede. - Então a distância entre o ponto de apoio e a extremidade onde está o funcionário é
.
Passo 3
Lembrete sobre torque (momento): o torque
produzido por uma força é dado por
onde
é a força perpendicular à alavanca (aqui, o peso) e
é a distância perpendicular do ponto de aplicação da força ao ponto de apoio (braço da alavanca). No nosso caso as forças são os pesos (força peso = massa vezes gravidade).
Passo 4
Escrevendo as forças (pesos) de cada um:
- Peso da caixa:
. - Peso do funcionário:
.
Aquié a aceleração da gravidade. Não precisamos conhecer o valor numérico de , porque ele aparece em ambos os lados da equação e cancela.
Passo 5
Equilíbrio dos torques em relação ao ponto de apoio (escolhendo sinais: torque do funcionário em um sentido = torque da caixa em sentido oposto):
Substituindo os pesos:
Passo 6
Cancelar
dos dois lados (pois
e aparece multiplicando ambos os termos):
Substituir
:
Desenvolvendo o lado esquerdo:
Somando
aos dois lados para isolar
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Simplificando a fração:
Cheque rápido (para conferir que não deu bobeira): torque da caixa
. Torque do funcionário
. São iguais, perfeito — equilíbrio confirmado.