Uma função de onda de um O.H, é
\psi(x)=A x e^{-b x^{2}}
(a) Mostre que \psi(x) é solução da equação de Schrodinger para o O.H.
(b) Encontre o valor de b e da energia total E.

Passo 1

O enunciado fornece a função de onda
\psi(x)=A x e^{-b x^{2}}
e pede duas coisas:
  1. Mostrar que \psi(x) é solução da equação de Schrödinger independente do tempo para o oscilador harmônico unidimensional (potencial quadrático).
  2. Determinar o valor de b e a energia total E.
Informações dadas explícitas no enunciado:
\psi(x)=A x e^{-b x^{2}}.
Informação implícita necessária (potencial do oscilador harmônico):
V(x)=\frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}.
O que precisamos encontrar: o parâmetro b que torna \psi autovalor da hamiltoniana e o correspondente autovalor de energia E.

Passo 2

Escrevendo a equação de Schrödinger independente do tempo (uma “aula rápida” sobre a fórmula que vamos usar):
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\,\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} + V(x)\psi(x) = E\psi(x).
Aqui:
  • \hbar é a constante de Dirac reduzida,
  • m é a massa da partícula,
  • V(x)=\dfrac{1}{2}m\omega^{2}x^{2} é o potencial do oscilador harmônico,
  • E é a energia (autovalor) que procuramos,
  • \psi(x) é a função de onda candidata (autofunção).
    A estratégia é: calcular \psi''(x), substituir na equação acima e ver se podemos achar b e E que satisfazem a igualdade para todo x.

Passo 3

Calculemos a primeira derivada de \psi(x). Começando por lembrar a regra do produto e da cadeia. Temos
\psi(x)=A\;x\;e^{-b x^{2}}.
Derivando:
\frac{d\psi}{dx}=A\left(1\cdot e^{-b x^{2}} + x\cdot\frac{d}{dx}\big(e^{-b x^{2}}\big)\right).
A derivada do expoente é \frac{d}{dx}e^{-b x^{2}} = -2b x\,e^{-b x^{2}}. Então
\frac{d\psi}{dx}=A\left(e^{-b x^{2}} + x\cdot(-2b x)e^{-b x^{2}}\right) = A e^{-b x^{2}}\big(1-2b x^{2}\big).

Passo 4

Agora a segunda derivada. Diferenciando \psi'(x)=A e^{-b x^{2}}\big(1-2b x^{2}\big) usando produto:
\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} = A\frac{d}{dx}\Big[e^{-b x^{2}}\big(1-2b x^{2}\big)\Big].
Aplicando a regra do produto:
\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} = A\left(e^{-b x^{2}}\cdot\frac{d}{dx}(1-2b x^{2}) + (1-2b x^{2})\cdot\frac{d}{dx}e^{-b x^{2}}\right).
Calculando as derivadas internas: \frac{d}{dx}(1-2b x^{2}) = -4b x e \frac{d}{dx}e^{-b x^{2}} = -2b x e^{-b x^{2}}. Substituindo:
\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} = A\left(e^{-b x^{2}}(-4b x) + (1-2b x^{2})(-2b x e^{-b x^{2}})\right).
Fatorando A e^{-b x^{2}} x:
\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} = A e^{-b x^{2}} x\big( -4b -2b(1-2b x^{2})\big).
Simplificando o parêntese:
-4b -2b(1-2b x^{2}) = -4b -2b +4b^{2}x^{2} = -6b +4b^{2}x^{2}.
Portanto
\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} = A x e^{-b x^{2}}\big(4b^{2}x^{2}-6b\big).
Note que isso pode ser escrito de forma compacta usando \psi(x)=A x e^{-b x^{2}}:
\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} = \psi(x)\big(4b^{2}x^{2}-6b\big).

Passo 5

Substituímos \psi''(x) na equação de Schrödinger:
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\,\psi''(x) + \frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}\psi(x) = E\psi(x).
Usando \psi''(x)=\psi(x)\big(4b^{2}x^{2}-6b\big), obtemos
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\,\psi(x)\big(4b^{2}x^{2}-6b\big) + \frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}\psi(x) = E\psi(x).
Como \psi(x) não é identicamente zero, podemos dividir ambos os lados por \psi(x) (essa é uma manipulação comum: estamos comparando funções de x):
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\big(4b^{2}x^{2}-6b\big) + \frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2} = E.
Agora expandimos e organizamos em termos de potências de x:
Termos em x^{2}:
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\cdot 4b^{2}x^{2} + \frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2} = \left(-2\frac{\hbar^{2}}{m}b^{2} + \frac{1}{2}m\omega^{2}\right)x^{2}.
Termo constante (sem x):
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\cdot(-6b) = +\frac{6\hbar^{2}b}{2m} = 3\frac{\hbar^{2}}{m}b.
Portanto a equação fica
\left(-2\frac{\hbar^{2}}{m}b^{2} + \frac{1}{2}m\omega^{2}\right)x^{2} + 3\frac{\hbar^{2}}{m}b = E.

Passo 6

Interpretação e condição necessária: o lado esquerdo é uma função de x formada por um termo em x^{2} mais uma constante. O lado direito é a energia E, que deve ser uma constante (independente de x). Para que essa igualdade valha para todo x, o coeficiente do termo em x^{2} deve ser zero e a constante restante será exatamente E.
Assim impomos:
  1. Coeficiente de x^{2} igual a zero:
-2\frac{\hbar^{2}}{m}b^{2} + \frac{1}{2}m\omega^{2} = 0.
  1. O termo constante dá E:
E = 3\frac{\hbar^{2}}{m}b.

Passo 7

Resolvendo a equação para b. Da condição do coeficiente de x^{2}:
-2\frac{\hbar^{2}}{m}b^{2} + \frac{1}{2}m\omega^{2} = 0.
Isolando b^{2}:
2\frac{\hbar^{2}}{m}b^{2} = \frac{1}{2}m\omega^{2}
b^{2} = \frac{1}{4}\frac{m^{2}\omega^{2}}{\hbar^{2}}.
Escolhemos a raiz positiva (para que a exponencial decaia e a função seja normalizável):
b = \frac{m\omega}{2\hbar}.

Passo 8

Agora substituímos b na expressão para E:
E = 3\frac{\hbar^{2}}{m}b.
Substituindo b=\dfrac{m\omega}{2\hbar}:
E = 3\frac{\hbar^{2}}{m}\cdot\frac{m\omega}{2\hbar} = 3\cdot\frac{\hbar\omega}{2} = \frac{3}{2}\hbar\omega.
Portanto a energia é \dfrac{3}{2}\hbar\omega.

Passo 9

Comentário final curto e motivador: concluímos que a função dada é de fato um autofunção da hamiltoniana do oscilador harmônico para b=\dfrac{m\omega}{2\hbar} com energia \dfrac{3}{2}\hbar\omega. Essa onda corresponde ao estado excitado de paridade ímpar (o primeiro estado excitado, n=1, cujo energy é (n+\tfrac{1}{2})\hbar\omega). Se quiser, na prova você pode mencionar que A é determinado pela normalização, mas isso não altera b nem E.

Resposta

b=\dfrac{m\omega}{2\hbar}
E=\dfrac{3}{2}\hbar\omega

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