Uma função de onda de um O.H, é
(a) Mostre que
é solução da equação de Schrodinger para o O.H.
(b) Encontre o valor de
e da energia total
.
(b) Encontre o valor de
Passo 1
O enunciado fornece a função de onda
e pede duas coisas:
- Mostrar que
é solução da equação de Schrödinger independente do tempo para o oscilador harmônico unidimensional (potencial quadrático). - Determinar o valor de
e a energia total .
Informações dadas explícitas no enunciado:
Informação implícita necessária (potencial do oscilador harmônico):
O que precisamos encontrar: o parâmetro
que torna
autovalor da hamiltoniana e o correspondente autovalor de energia
.
Passo 2
Escrevendo a equação de Schrödinger independente do tempo (uma “aula rápida” sobre a fórmula que vamos usar):
Aqui:
-
é a constante de Dirac reduzida, -
é a massa da partícula, -
é o potencial do oscilador harmônico, -
é a energia (autovalor) que procuramos, -
é a função de onda candidata (autofunção).
A estratégia é: calcular, substituir na equação acima e ver se podemos achar e que satisfazem a igualdade para todo .
Passo 3
Calculemos a primeira derivada de
. Começando por lembrar a regra do produto e da cadeia. Temos
Derivando:
A derivada do expoente é
. Então
Passo 4
Agora a segunda derivada. Diferenciando
usando produto:
Aplicando a regra do produto:
Calculando as derivadas internas:
e
. Substituindo:
Fatorando
:
Simplificando o parêntese:
Portanto
Note que isso pode ser escrito de forma compacta usando
:
Passo 5
Substituímos
na equação de Schrödinger:
Usando
, obtemos
Como
não é identicamente zero, podemos dividir ambos os lados por
(essa é uma manipulação comum: estamos comparando funções de
):
Agora expandimos e organizamos em termos de potências de
:
Termos em :
Termos em
Termo constante (sem
):
Portanto a equação fica
Passo 6
Interpretação e condição necessária: o lado esquerdo é uma função de
formada por um termo em
mais uma constante. O lado direito é a energia
, que deve ser uma constante (independente de
). Para que essa igualdade valha para todo
, o coeficiente do termo em
deve ser zero e a constante restante será exatamente
.
Assim impomos:
- Coeficiente de
igual a zero:
- O termo constante dá
:
Passo 7
Resolvendo a equação para
. Da condição do coeficiente de
:
Isolando
:
Escolhemos a raiz positiva (para que a exponencial decaia e a função seja normalizável):
Passo 8
Agora substituímos
na expressão para
:
Substituindo
:
Portanto a energia é
.
Passo 9
Comentário final curto e motivador: concluímos que a função dada é de fato um autofunção da hamiltoniana do oscilador harmônico para
com energia
. Essa onda corresponde ao estado excitado de paridade ímpar (o primeiro estado excitado,
, cujo energy é
). Se quiser, na prova você pode mencionar que
é determinado pela normalização, mas isso não altera
nem
.