Um fóton com energia E=2,28 \mathrm{eV} é absorvido por um átomo de hidrogênio.
(a) Encontre o menor inteiro n para o qual um átomo de hidrogênio pode ser ionizado por esse fóton.
(b) Encontre a velocidade do elétron liberado a partir do estado n encontrado acima.

Passo 1

O enunciado dá um fóton com energia E=2,28\\ \mathrm{eV} que é absorvido por um átomo de hidrogênio. Perguntas:
  1. (a) Qual é o menor inteiro n tal que esse fóton pode ionizar o átomo quando o elétron está no nível n?
  2. (b) Qual a velocidade do elétron liberado a partir desse nível n (assuma que a energia excedente vai para a energia cinética do elétron)?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Energia do fóton: E_{\text{fóton}}=2,28\\ \mathrm{eV}ó.

Passo 2

Conceito importante (aula rápida): níveis de energia do elétron no átomo de hidrogênio (modelo de Bohr).
A energia do elétron no nível n é dada por
E_n = -\frac{13,6\\ \mathrm{eV}}{n^2},
onde:
  • E_n é a energia ligada do elétron no nível n (valor negativo porque está ligado),
  • 13,6\\ \mathrm{eV} é a energia absoluta do estado fundamental ( n=1),
  • n é um inteiro positivo ( n=1,2,3,\dots).
A energia necessária para ionizar (libertar) o elétron partindo do nível n (ou seja, elevar a energia até zero) é o módulo de E_n:
E_{\text{ion},n} = \left|E_n\right| = \frac{13,6\\ \mathrm{eV}}{n^2}.

Passo 3

Critério de ionização por um fóton: o fóton pode ionizar o elétron do nível n se a energia do fóton for maior ou igual à energia de ionização desse nível. Em fórmulas:
E_{\text{fóton}} \ge E_{\text{ion},n} = \frac{13,6\\ \mathrm{eV}}{n^2}.ó
Se houver energia excedente, ela vira energia cinética do elétron liberado:
K = E_{\text{fóton}} - \frac{13,6\\ \mathrm{eV}}{n^2}.ó

Passo 4

Aplicando o critério para achar o menor inteiro n:
Começamos escrevendo a desigualdade
2,28 \ge \frac{13,6}{n^2}.
Isolando n^2:
n^2 \ge \frac{13,6}{2,28}.
Agora calculamos a divisão (aproximação suficiente para a prova):
\frac{13,6}{2,28} \approx 5,9649.
Logo
n \ge \sqrt{5,9649} \approx 2,442.
Como n precisa ser um inteiro positivo, o menor inteiro que satisfaz é
n=3.
Interpretação: para n=2 a energia de ionização seria \frac{13,6}{4}=3,4\\ \mathrm{eV} (maior que 2,28\\ \mathrm{eV}), então não dá; para n=3 a energia de ionização é \frac{13,6}{9} que é menor que 2,28\\ \mathrm{eV}, então o fóton consegue ionizar.

Passo 5

Agora calculamos a energia cinética K do elétron liberado partindo de n=3.
Primeiro a energia de ionização do nível n=3:
\frac{13,6}{3^2}=\frac{13,6}{9}=1,511\overline{1}\\ \mathrm{eV}\\ (\text{aprox. }1,5111\\ \mathrm{eV}).
Energia cinética em elétron-volts:
K = 2,28 - 1,5111\approx 0,7689\\ \mathrm{eV}.

Passo 6

Convertendo K para joules para usar a fórmula clássica da velocidade:
Constantes (valores usados):
1\\ \mathrm{eV} = 1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J},
m_e = 9,10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
Convertendo:
K = 0,7689\\ \mathrm{eV}\times 1,602176634\times10^{-19}\\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{eV}} \approx 1,232\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Relação entre energia cinética clássica e velocidade (não relativística):
K=\tfrac{1}{2}m_ev^2.
Isolando v:
v=\sqrt{\frac{2K}{m_e}}.
Substituindo os valores:
v=\sqrt{\frac{2\times 1,232\times10^{-19}}{9,10938356\times10^{-31}}} \approx \sqrt{2,704\times10^{11}} \approx 5,21\times10^{5}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 8

Verificação rápida da consistência: comparando com a velocidade da luz c\approx 3,00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s},
\frac{v}{c}\approx \frac{5,21\times10^{5}}{3,00\times10^{8}}\approx 1,7\times10^{-3},
ou seja v\ll c, logo a aproximação clássica não relativística é válida.

Resposta

(a) n=3
(b) v \approx 5,21\times10^{5}\\ \mathrm{m/s}

Exercícios relacionados