Um fóton com energia
é absorvido por um átomo de hidrogênio.
(a) Encontre o menor inteiro
para o qual um átomo de hidrogênio pode ser ionizado por esse fóton.
(b) Encontre a velocidade do elétron liberado a partir do estado
encontrado acima.
(a) Encontre o menor inteiro
(b) Encontre a velocidade do elétron liberado a partir do estado
Passo 1
O enunciado dá um fóton com energia
que é absorvido por um átomo de hidrogênio. Perguntas:
- (a) Qual é o menor inteiro
tal que esse fóton pode ionizar o átomo quando o elétron está no nível ? - (b) Qual a velocidade do elétron liberado a partir desse nível
(assuma que a energia excedente vai para a energia cinética do elétron)?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Energia do fóton:
.
Passo 2
Conceito importante (aula rápida): níveis de energia do elétron no átomo de hidrogênio (modelo de Bohr).
A energia do elétron no nível é dada por
A energia do elétron no nível
onde:
-
é a energia ligada do elétron no nível (valor negativo porque está ligado), -
é a energia absoluta do estado fundamental ( ), -
é um inteiro positivo ( ).
A energia necessária para ionizar (libertar) o elétron partindo do nível
(ou seja, elevar a energia até zero) é o módulo de
:
Passo 3
Critério de ionização por um fóton: o fóton pode ionizar o elétron do nível
se a energia do fóton for maior ou igual à energia de ionização desse nível. Em fórmulas:
Se houver energia excedente, ela vira energia cinética do elétron liberado:
Passo 4
Aplicando o critério para achar o menor inteiro
:
Começamos escrevendo a desigualdade
Isolando
:
Agora calculamos a divisão (aproximação suficiente para a prova):
Logo
Como
precisa ser um inteiro positivo, o menor inteiro que satisfaz é
Interpretação: para
a energia de ionização seria
(maior que
), então não dá; para
a energia de ionização é
que é menor que
, então o fóton consegue ionizar.
Passo 5
Agora calculamos a energia cinética
do elétron liberado partindo de
.
Primeiro a energia de ionização do nível
:
Energia cinética em elétron-volts:
Passo 6
Convertendo
para joules para usar a fórmula clássica da velocidade:
Constantes (valores usados):
Constantes (valores usados):
Convertendo:
Passo 7
Relação entre energia cinética clássica e velocidade (não relativística):
Isolando
:
Substituindo os valores:
Passo 8
Verificação rápida da consistência: comparando com a velocidade da luz
,
ou seja
, logo a aproximação clássica não relativística é válida.
Resposta
(a)
(b)
(b)