Para as funções abaixo, calcule
e
e verifique se é válida a conclusão do Teorema de Schwarz.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule as derivadas parciais de segunda ordem
da função
da função
e que verifique se a conclusão do Teorema de Schwarz (isto é,
) é válida.
Informações dadas que vou usar explicitamente:
Informações dadas que vou usar explicitamente:
- A função dada é
com . - A função só está diretamente bem definida quando
(pois há divisão por ).
A resolução começa a seguir.
Passo 2
Primeiro eu explico as regras de diferenciação que vou usar (mini-aula rápida, sem assumir que você lembra tudo).
- Regra da cadeia (para derivada de
): se , então
Aqui
é a derivada de
em relação a
, e
é a derivada parcial de
em relação a
.
- Regra do quociente (para
com e ):
Vou aplicar isso a
com
e
.
Passo 3
Calcular
pelo quociente, passo a passo.
-
então . -
então .
Aplicando a regra do quociente:
Agora simplifico o numerador:
Logo
Passo 4
Calcular
de forma análoga.
-
. -
.
Pelo quociente:
Simplificando o numerador:
Portanto
Passo 5
Agora uso a regra da cadeia para obter
e
.
Primeiro escrevo
em termos de
. Lembre que
. Então
Vou simplificar o numerador:
Agrupando termos:
Portanto
Passo 6
Substituo agora em
. Usando os resultados:
A mesma conta, trocando
por
, dá
Observação intuitiva (sem usar na conta): isso coincide com a identidade trigonométrica
(quando a soma está no ramo principal), que já sugere que
e
. Mas a derivação acima foi feita diretamente e é válida no domínio onde a expressão original está definida (
).
Passo 7
Agora calculo as derivadas de segunda ordem.
Derivada parcial de
em relação a
:
explico a regra: (regra da cadeia/potência).
Logo
explico a regra:
Logo
Passo 8
Derivada mista
: derivar
em relação a
. Aqui
não depende de
, então
Passo 9
Agora
e
.
Derivar
em relação a
:
Derivar
em relação a
: como
não depende de
,
Passo 10
Verificação do Teorema de Schwarz: o Teorema de Schwarz afirma que, se as derivadas parciais de segunda ordem são contínuas num aberto que contém o ponto em questão, então as derivadas mistas coincidem:
.
Aqui as expressões encontradas são
iguais entre si. As fórmulas explícitas para as segundas derivadas
e
e
são funções contínuas em todo
. A única ressalva é que a função original
está definida (como dada) apenas quando
; no domínio onde a função original existe e é diferenciável (isto é, no aberto
ou em qualquer subconjunto aberto onde a expressão é válida), as segundas derivadas que obtivemos são contínuas, portanto as hipóteses do Teorema de Schwarz estão satisfeitas e a conclusão
é válida. (Em resumo: sim, Schwarz vale aqui.)