Mostre que a função abaixo é contínua em ( 0,0 ), mas não é diferenciável em nesse ponto.
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl} \frac{2 y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\ 0, & \text { se }(x, y)=(0,0) \end{array}\right.

Passo 1

Vou deixar claro o que o problema pede e o que é dado.
  • O enunciado define a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) por \[f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{2y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & \text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & \text{se }(x,y)=(0,0). \end{cases}
  • O que se pede: mostrar que f\] é contínua em \((0,0) e que f não é diferenciável em (0,0).
Listei os dados e as duas perguntas claramente; a partir daqui vou provar cada afirmativa passo a passo.]

Passo 2

Revisão das definições que vou usar (com explicação didática):
  • Continuidade em (0,0): dizer que f é contínua em (0,0) significa que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0)=0.
Na prática precisamos mostrar que, para qualquer caminho que leve (x,y) a (0,0), f(x,y) tende a 0.
  • Diferenciabilidade em (0,0): f é diferenciável em (0,0) se existe um mapa linear L:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} tal que, chamando r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},
f(x,y)-f(0,0)-L(x,y)=o(r)\quad\text{quando }(x,y)\to(0,0).
Isto significa que o erro f(x,y)-f(0,0)-L(x,y) é muito menor que r quando (x,y) se aproxima de (0,0). Se f for diferenciável então L é dada pelas derivadas parciais em (0,0):
L(x,y)=f_x(0,0)\,x+f_y(0,0)\,y.
Vou usar essas definições para provar continuidade primeiro e depois mostrar que a condição de diferenciabilidade falha.

Passo 3

Prova da continuidade em (0,0) — estratégia e cálculo passo a passo.
Uma maneira natural é passar para coordenadas polares. Defina r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e escreva y=r\sin\theta. Para (x,y)\neq(0,0) temos
f(x,y)=\frac{2y^{3}}{x^{2}+y^{2}}=\frac{2(r\sin\theta)^{3}}{r^{2}}=2r\sin^{3}\theta.
Isso é uma simplificação muito útil: a dependência em r ficou explícita e o fator angular \sin^{3}\theta é limitado. Como |\sin^{3}\theta|\le 1, obtemos
|f(x,y)|=|2r\sin^{3}\theta|\le 2r.
Como r\to 0 quando (x,y)\to(0,0), o lado direito tende a 0. Portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0=f(0,0).
Concluímos que f é contínua em (0,0).
Comentário didático curto: a ideia foi fatorar um r e usar que a parte angular é limitada. Esse é um truque muito comum para mostrar continuidade de funções racionais homogêneas em coordenadas polares.

Passo 4

Cálculo das derivadas parciais em (0,0) (porque elas aparecem naturalmente quando tentamos verificar diferenciabilidade).
Definição de derivada parcial:
f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h},\qquad f_y(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}.
Calcule f_x(0,0):
  • Para y=0 e x\neq0 temos f(x,0)=\dfrac{2\cdot 0^{3}}{x^{2}+0}=0.
  • Então
f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-0}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{0}{h}=0.
Calcule f_y(0,0):
  • Para x=0 e y\neq0 temos f(0,y)=\dfrac{2y^{3}}{0+y^{2}}=2y.
  • Então
f_y(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0,h)-0}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{2h}{1}=2.
Portanto as derivadas parciais em (0,0) existem e são
f_x(0,0)=0,\qquad f_y(0,0)=2.

Passo 5

O teste padrão para diferenciabilidade: assumir que f fosse diferenciável e verificar a condição de erro pequeno.
Se f fosse diferenciável em (0,0) então a aproximação linear seria
L(x,y)=f_x(0,0)\,x+f_y(0,0)\,y=0\cdot x + 2\cdot y = 2y.
Diferenciabilidade exige que
\frac{f(x,y)-L(x,y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\to 0\quad\text{quando }(x,y)\to(0,0).
Vou testar essa condição numa linha simples: escolha a reta x=y=t com t\to 0.
  • Para x=y=t\neq 0 temos
f(t,t)=\frac{2t^{3}}{t^{2}+t^{2}}=\frac{2t^{3}}{2t^{2}}=t.
  • O aproximante linear é L(t,t)=2t.
  • Então o erro é
f(t,t)-L(t,t)=t-2t=-t.
  • A norma \sqrt{x^{2}+y^{2}} para (t,t) é r=\sqrt{2}\,|t|. Portanto
\left|\frac{f(t,t)-L(t,t)}{\sqrt{t^{2}+t^{2}}}\right| =\frac{|{-t}|}{\sqrt{2}\,|t|}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Esse quociente é constante e igual a \dfrac{1}{\sqrt{2}} para todo t\neq 0, logo não tende a 0 quando t\to 0.
Conclusão imediata: a condição necessária para diferenciabilidade falha, portanto f não é diferenciável em (0,0).
Comentário didático: mesmo com derivadas parciais existindo (aqui f_x(0,0)=0 e f_y(0,0)=2), isso não garante diferenciabilidade. É preciso que o erro na aproximação linear seja realmente pequeno comparado a \sqrt{x^{2}+y^{2}}; um caminho que dê um limite não nulo já mostra a falha.

Passo 6

Resumo e intuição final (para você lembrar na prova).
  • Continuidade: em coordenadas polares f(x,y)=2r\sin^{3}\theta e portanto tende a 0 quando r\to 0. Então f é contínua em (0,0).
  • Não diferenciável: as derivadas parciais existem, mas a tentativa de aproximação linear L(x,y)=2y deixa um erro que, seguindo a reta x=y, tem tamanho proporcional a |t| enquanto a norma do vetor é proporcional a |t| também; o quociente do erro pela norma não tende a zero (fica em 1/\sqrt{2}). Logo f não é diferenciável em (0,0).
Um jeito rápido de lembrar: se o termo principal da função após subtrair a aproximação linear não for realmente de ordem mais alta (ou seja, não for o(r)), então não há diferenciabilidade. Aqui a presença de termos que dependem de direções diferentes faz com que o erro não seja pequeno o suficiente.

Resposta

f é contínua em (0,0).
f não é diferenciável em (0,0).

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