Isto significa que o erro f(x,y)-f(0,0)-L(x,y) é muito menor que r quando (x,y) se aproxima de (0,0). Se f for diferenciável então L é dada pelas derivadas parciais em (0,0):
L(x,y)=f_x(0,0)\,x+f_y(0,0)\,y.
Vou usar essas definições para provar continuidade primeiro e depois mostrar que a condição de diferenciabilidade falha.
Passo 3
Prova da continuidade em (0,0) — estratégia e cálculo passo a passo.
Uma maneira natural é passar para coordenadas polares. Defina r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e escreva y=r\sin\theta. Para (x,y)\neq(0,0) temos
Isso é uma simplificação muito útil: a dependência em r ficou explícita e o fator angular \sin^{3}\theta é limitado. Como |\sin^{3}\theta|\le 1, obtemos
|f(x,y)|=|2r\sin^{3}\theta|\le 2r.
Como r\to 0 quando (x,y)\to(0,0), o lado direito tende a 0. Portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0=f(0,0).
Concluímos que f é contínua em (0,0).
Comentário didático curto: a ideia foi fatorar um r e usar que a parte angular é limitada. Esse é um truque muito comum para mostrar continuidade de funções racionais homogêneas em coordenadas polares.
Passo 4
Cálculo das derivadas parciais em (0,0) (porque elas aparecem naturalmente quando tentamos verificar diferenciabilidade).
Esse quociente é constante e igual a \dfrac{1}{\sqrt{2}} para todo t\neq 0, logo não tende a 0 quando t\to 0.
Conclusão imediata: a condição necessária para diferenciabilidade falha, portanto f não é diferenciável em (0,0).
Comentário didático: mesmo com derivadas parciais existindo (aqui f_x(0,0)=0 e f_y(0,0)=2), isso não garante diferenciabilidade. É preciso que o erro na aproximação linear seja realmente pequeno comparado a \sqrt{x^{2}+y^{2}}; um caminho que dê um limite não nulo já mostra a falha.
Passo 6
Resumo e intuição final (para você lembrar na prova).
Continuidade: em coordenadas polares f(x,y)=2r\sin^{3}\theta e portanto tende a 0 quando r\to 0. Então f é contínua em (0,0).
Não diferenciável: as derivadas parciais existem, mas a tentativa de aproximação linear L(x,y)=2y deixa um erro que, seguindo a reta x=y, tem tamanho proporcional a |t| enquanto a norma do vetor é proporcional a |t| também; o quociente do erro pela norma não tende a zero (fica em 1/\sqrt{2}). Logo f não é diferenciável em (0,0).
Um jeito rápido de lembrar: se o termo principal da função após subtrair a aproximação linear não for realmente de ordem mais alta (ou seja, não for o(r)), então não há diferenciabilidade. Aqui a presença de termos que dependem de direções diferentes faz com que o erro não seja pequeno o suficiente.
Resposta
f é contínua em (0,0). f não é diferenciável em (0,0).