Para as funções abaixo, calcule f_{x x}, f_{x y}, f_{y y} e f_{y x} e verifique se é válida a conclusão do Teorema de Schwarz.
f(x, y)=\left(4 x y-3 y^{3}\right)^{3}+5 x^{2} y

Passo 1

O enunciado pede que, para a função
f(x,y)=\left(4xy-3y^{3}\right)^{3}+5x^{2}y,
calculemos as derivadas parciais de segunda ordem \,f_{xx},\,f_{xy},\,f_{yy},\,f_{yx}\, e que verifiquemos se vale a conclusão do Teorema de Schwarz (isto é, se \,f_{xy}=f_{yx}\,).
Informações dadas:
  • A função é explicitamente fornecida em termos de x e y.
  • Não há restrição no domínio indicada; trata-se de um polinômio (composta), portanto é suave onde definida.

Passo 2

Estratégia e regras que vou usar (fórmulas básicas e ideias):
  • Definição de derivada parcial: para \,f(x,y)\,, \,f_x=\dfrac{\partial f}{\partial x}\, é a derivada de f em relação a x mantendo y constante; similar para \,f_y.
  • Regras de diferenciação usadas: regra da cadeia e regra do produto. Exemplos:
    • Se \,u(x,y)\, é função de x,y, \dfrac{\partial}{\partial x}\big(u^3\big)=3u^2\,u_x.
    • Se \,g(x,y)=x^2 y\,, então \dfrac{\partial g}{\partial x}=2x y (tratando y como constante).
  • Para organizar, defino a função auxiliar u(x,y)=4xy-3y^{3}.Assim \,f(x,y)=u^3+5x^{2}y.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais primeiras, usando a regra da cadeia:
  • Primeiro calculemos \,u_x e \,u_y: u_x=\frac{\partial}{\partial x}(4xy-3y^3)=4y, \qquad u_y=\frac{\partial}{\partial y}(4xy-3y^3)=4x-9y^2.
  • Agora \,f_x pela cadeia: f_x=\frac{\partial}{\partial x}\big(u^3+5x^2 y\big)=3u^2\,u_x + 10 x y.Substituindo u_x=4y, f_x=3u^2\cdot 4y + 10 x y = 12y\,u^2 + 10 x y.
  • E \,f_y: f_y=\frac{\partial}{\partial y}\big(u^3+5x^2 y\big)=3u^2\,u_y + 5x^2.Substituindo u_y=4x-9y^2, f_y=3u^2(4x-9y^2) + 5x^2.

Passo 4

Calcular \,f_{xx}=\dfrac{\partial}{\partial x}(f_x). Temos \,f_x=12y\,u^2+10xy. Diferenciando em relação a x (tratando y como constante):
  • Para o termo 12y\,u^2: aplicar regra da cadeia: \frac{\partial}{\partial x}\big(12y\,u^2\big)=12y\cdot 2u\,u_x=24y\,u\,u_x.Como u_x=4y, isso vira 24y\,u\cdot 4y = 96 y^2 u.
  • Para o termo 10xy: \dfrac{\partial}{\partial x}(10xy)=10y.
  • Portanto f_{xx}=96 y^2 u + 10 y.Substituindo de volta u=4xy-3y^3, uma forma expandida é f_{xx}=96 y^2(4xy-3y^3)+10y=384 x y^3 -288 y^5 + 10 y.

Passo 5

Calcular \,f_{xy}=\dfrac{\partial}{\partial y}(f_x). Partimos de \,f_x=12y\,u^2+10xy. Diferenciando em relação a y:
  • Para 12y\,u^2: usar produto e cadeia: \frac{\partial}{\partial y}\big(12y\,u^2\big)=12u^2 + 12y\cdot 2u\,u_y = 12u^2 + 24y\,u\,u_y.
  • Para 10xy: \dfrac{\partial}{\partial y}(10xy)=10x.
  • Assim f_{xy}=12u^2 + 24y\,u\,u_y + 10x.Lembrando u_y=4x-9y^2, podemos escrever também f_{xy}=12(4xy-3y^3)^2 + 24y(4xy-3y^3)(4x-9y^2) + 10x.Forma totalmente expandida (opcional) é f_{xy}=576 x^2 y^2 -1440 x y^4 + 756 y^6 + 10 x.

Passo 6

Calcular \,f_{yx}=\dfrac{\partial}{\partial x}(f_y). Partimos de \,f_y=3u^2(4x-9y^2)+5x^2. Diferenciando em relação a x:
  • Denotando v=4x-9y^2 (portanto v_x=4), temos f_y=3u^2 v + 5x^2. Aplicando produto e cadeia: \frac{\partial}{\partial x}(3u^2 v)=3\big(2u\,u_x\,v + u^2\,v_x\big)=6u\,u_x\,v + 3u^2\cdot 4.Como u_x=4y, isso é 6u\cdot 4y\cdot v + 12 u^2 = 24y\,u\,v + 12 u^2.
  • E \dfrac{\partial}{\partial x}(5x^2)=10x.
  • Logo f_{yx}=24y\,u\,v + 12 u^2 + 10 x.Substituindo v=4x-9y^2 e reordenando os termos obtemos exatamente f_{yx}=12u^2 + 24y\,u\,u_y + 10x,já que u_y=v. Portanto, em forma explícita, f_{yx}=12(4xy-3y^3)^2 + 24y(4xy-3y^3)(4x-9y^2) + 10x,que, como visto acima, expande para f_{yx}=576 x^2 y^2 -1440 x y^4 + 756 y^6 + 10 x.

Passo 7

Calcular \,f_{yy}=\dfrac{\partial}{\partial y}(f_y). Partimos de \,f_y=3u^2 v + 5x^2 com v=4x-9y^2.
  • Diferenciando 3u^2 v em relação a y: \frac{\partial}{\partial y}(3u^2 v)=3\big(2u\,u_y\,v + u^2\,v_y\big)=6u\,u_y\,v + 3u^2 v_y.Aqui v_y=-18y e u_y=v. Substituindo: f_{yy}=6u\,v^2 + 3u^2(-18y)=6u v^2 -54y\,u^2.Voltando às expressões em x,y: f_{yy}=6(4xy-3y^3)(4x-9y^2)^2 -54y(4xy-3y^3)^2.Forma totalmente expandida (opcional) é f_{yy}=384 x^3 y -2880 x^2 y^3 +4536 x y^5 -1944 y^7.

Passo 8

Verificação do Teorema de Schwarz:
  • O Teorema de Schwarz (também chamado de Teorema de Clairaut) afirma que se as segundas derivadas parciais de f são contínuas numa vizinhança de um ponto, então \,f_{xy}=f_{yx}\, nesse ponto.
  • Aqui f é uma combinação polinomial (composta por produtos, soma e potências) de x e y; portanto todas as derivadas parciais de qualquer ordem existem e são contínuas em todo \mathbb{R}^2. Logo as hipóteses do Teorema de Schwarz são satisfeitas.
  • Concretamente, dos cálculos temos as expressões coincidentes para \,f_{xy}\, e \,f_{yx}\,: f_{xy}=f_{yx}=12(4xy-3y^3)^2 + 24y(4xy-3y^3)(4x-9y^2) + 10x,ou, na forma expandida, f_{xy}=f_{yx}=576 x^2 y^2 -1440 x y^4 + 756 y^6 + 10 x.Portanto a igualdade das mistas é verificada explicitamente.

Resposta

f_{xx}=384 x y^{3}-288 y^{5}+10 y
f_{xy}=576 x^{2} y^{2}-1440 x y^{4}+756 y^{6}+10 x
f_{yy}=384 x^{3} y-2880 x^{2} y^{3}+4536 x y^{5}-1944 y^{7}
f_{yx}=576 x^{2} y^{2}-1440 x y^{4}+756 y^{6}+10 x
Teorema de Schwarz: válido (pois f_{xy}=f_{yx}).

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