Para as funções abaixo, calcule
e
e verifique se é válida a conclusão do Teorema de Schwarz.
Passo 1
O enunciado pede que, para a função
calculemos as derivadas parciais de segunda ordem
e que verifiquemos se vale a conclusão do Teorema de Schwarz (isto é, se
).
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é explicitamente fornecida em termos de
e . - Não há restrição no domínio indicada; trata-se de um polinômio (composta), portanto é suave onde definida.
Passo 2
Estratégia e regras que vou usar (fórmulas básicas e ideias):
- Definição de derivada parcial: para
, é a derivada de em relação a mantendo constante; similar para . - Regras de diferenciação usadas: regra da cadeia e regra do produto. Exemplos:
- Se
é função de , . - Se
, então (tratando como constante).
- Se
- Para organizar, defino a função auxiliar
Assim
Passo 3
Calcular as derivadas parciais primeiras, usando a regra da cadeia:
- Primeiro calculemos
e : - Agora
pela cadeia: Substituindo , - E
: Substituindo ,
Passo 4
Calcular
. Temos
. Diferenciando em relação a
(tratando
como constante):
- Para o termo
: aplicar regra da cadeia: Como , isso vira . - Para o termo
: . - Portanto
Substituindo de volta , uma forma expandida é
Passo 5
Calcular
. Partimos de
. Diferenciando em relação a
:
- Para
: usar produto e cadeia: - Para
: . - Assim
Lembrando , podemos escrever também Forma totalmente expandida (opcional) é
Passo 6
Calcular
. Partimos de
. Diferenciando em relação a
:
- Denotando
(portanto ), temos . Aplicando produto e cadeia: Como , isso é . - E
. - Logo
Substituindo e reordenando os termos obtemos exatamente já que . Portanto, em forma explícita, que, como visto acima, expande para
Passo 7
Calcular
. Partimos de
com
.
- Diferenciando
em relação a : Aqui e . Substituindo: Voltando às expressões em : Forma totalmente expandida (opcional) é
Passo 8
Verificação do Teorema de Schwarz:
- O Teorema de Schwarz (também chamado de Teorema de Clairaut) afirma que se as segundas derivadas parciais de
são contínuas numa vizinhança de um ponto, então nesse ponto. - Aqui
é uma combinação polinomial (composta por produtos, soma e potências) de e ; portanto todas as derivadas parciais de qualquer ordem existem e são contínuas em todo . Logo as hipóteses do Teorema de Schwarz são satisfeitas. - Concretamente, dos cálculos temos as expressões coincidentes para
e : ou, na forma expandida, Portanto a igualdade das mistas é verificada explicitamente.
Resposta
Teorema de Schwarz: válido (pois
).