Para as funções abaixo, defina (se possível)
para que a mesma seja contínua em
.
Passo 1
O enunciado pede para ajustar o valor de f(0,0) de modo que f seja contínua em (0,0). O conteúdo é limite de funções de várias variáveis e usaremos o teorema do confronto (squeeze theorem).
Passo 2
A expressão é f(x,y)=(x+y)
sen\left(\frac{x}{y}\right). Como para todo t real vale |sen(t)|≤1, podemos usar essa desigualdade para f:
sen\left(\frac{x}{y}\right). Como para todo t real vale |sen(t)|≤1, podemos usar essa desigualdade para f:
Passo 3
Como (x,y)→(0,0) implica x+y→0, a desigualdade acima mostra que |f(x,y)| também tende a zero por estar confinada entre ±|x+y|. Logo
Passo 4
Para garantir continuidade em (0,0), basta definir f(0,0) igual ao limite encontrado, ou seja 0.
Resposta
f(0,0)=0