Para as funções abaixo,
a) determine os pontos críticos da função.
b) determine os intervalos onde a função é crescente e onde ela é decrescente.
c) determine os pontos de máximo e os pontos de mínimo locais da função.
d) Opcional: faça um esboço do gráfico da função.
.
a) determine os pontos críticos da função.
b) determine os intervalos onde a função é crescente e onde ela é decrescente.
c) determine os pontos de máximo e os pontos de mínimo locais da função.
d) Opcional: faça um esboço do gráfico da função.
Passo 1
O enunciado pede análise de extrema e monotonia para a função
cujo domínio é
(porque precisamos de
). Vamos usar derivadas para:
. identificar pontos críticos (onde
ou não existe),
. estudar o sinal de
e, assim, intervalos de crescimento/decrescimento,
. classificar máximos e mínimos locais,
. opcionalmente esboçar o gráfico.
Passo 2
Vamos calcular
usando a regra do produto em
Primeiro, seja
e
. Então
Aplicando a regra do produto,
Passo 3
Os pontos críticos vêm de
ou de
não existir (no interior do domínio).
.
quando o numerador
, ou seja
Como
Passo 4
Agora estudamos o sinal de
No intervalo interno
, a raiz no denominador é positiva. Logo o sinal de
é o sinal de
.
- Se
(isto é ), então e : crescendo. - Se
(isto é ou ), então e : decrescendo.
Passo 5
Com o comportamento de
:
- Em
, (decresce) - Em
, (cresce) - Em
, (decresce)
Logo:
- Em
temos mudança de decrescimento para crescimento mínimo local. - Em
temos mudança de crescimento para decrescimento máximo local.
Os valores são
Nas fronteiras,
.
Passo 6
Para esboçar:
- Zeros em
. - Sai de
, decresce até , sobe passando por até , depois decresce até .
O gráfico tem forma de “sela” invertida do lado esquerdo e um pico simétrico no lado direito.
Resposta
a) Pontos críticos internos:
. Fronteiras candidatas:
.
b) Crescente em ; decrescente em
e
.
c) Mínimo local em com
; máximo local em
com
.
d) Esboço conforme descrito acima.
b) Crescente em
c) Mínimo local em
d) Esboço conforme descrito acima.