Para as funções abaixo,
a) determine os pontos críticos da função.
b) determine os intervalos onde a função é crescente e onde ela é decrescente.
c) determine os pontos de máximo e os pontos de mínimo locais da função.
d) Opcional: faça um esboço do gráfico da função.
f(x)=x \cdot \sqrt{4-x^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede análise de extrema e monotonia para a função
f(x)=x\sqrt{4 - x^{2}},
cujo domínio é -2 \le x \le 2 (porque precisamos de 4 - x^2 \ge 0). Vamos usar derivadas para:
1. identificar pontos críticos (onde f'(x)=0 ou não existe),
2. estudar o sinal de f'(x) e, assim, intervalos de crescimento/decrescimento,
3. classificar máximos e mínimos locais,
4. opcionalmente esboçar o gráfico.

Passo 2

Vamos calcular f'(x) usando a regra do produto em
f(x)=x\,(4 - x^{2})^{1/2}.
Primeiro, seja u(x)=x e v(x)=(4 - x^2)^{1/2}. Então
u'(x)=1, \quad v'(x)=\frac{1}{2}(4 - x^2)^{-1/2}\cdot(-2x) =-\frac{x}{\sqrt{4 - x^2}}.
Aplicando a regra do produto,
f'(x) =u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x) =\sqrt{4 - x^2} +x\Bigl(-\frac{x}{\sqrt{4 - x^2}}\Bigr) =\frac{(4 - x^2) - x^2}{\sqrt{4 - x^2}} =\frac{4 - 2x^2}{\sqrt{4 - x^2}}.

Passo 3

Os pontos críticos vêm de f'(x)=0 ou de f'(x) não existir (no interior do domínio).
1. f'(x)=0 quando o numerador 4-2x^2=0, ou seja
2x^2=4 \;\Longrightarrow\; x^2=2 \;\Longrightarrow\; x=\pm\sqrt{2}.
2. f'(x) não existe quando o denominador \sqrt{4 - x^2}=0, isto é x=\pm2.
Como x=\pm2 são limites do domínio, eles serão candidatos a extremos de fronteira, mas não entram no teste de derivada usando mudança de sinal interno.

Passo 4

Agora estudamos o sinal de
f'(x)=\frac{4 - 2x^2}{\sqrt{4 - x^2}}.
No intervalo interno -2<x<2, a raiz no denominador é positiva. Logo o sinal de f'(x) é o sinal de 4-2x^2.
  • Se x^2<2 (isto é -\sqrt2<x<\sqrt2), então 4-2x^2>0 e f'(x)>0: crescendo.
  • Se x^2>2 (isto é -2<x<-\sqrt2 ou \sqrt2<x<2), então 4-2x^2<0 e f'(x)<0: decrescendo.

Passo 5

Com o comportamento de f'(x):
  • Em -2<x<-\sqrt2, f'<0 (decresce)
  • Em -\sqrt2<x<\sqrt2, f'>0 (cresce)
  • Em \sqrt2<x<2, f'<0 (decresce)
Logo:
  • Em x=-\sqrt2 temos mudança de decrescimento para crescimento \Rightarrow mínimo local.
  • Em x=+\sqrt2 temos mudança de crescimento para decrescimento \Rightarrow máximo local.
Os valores são
f(\pm\sqrt2) =\pm\sqrt2\;\sqrt{4-(\sqrt2)^2} =\pm\sqrt2\;\sqrt{2} =\pm2.
Nas fronteiras, f(-2)=f(2)=0.

Passo 6

Para esboçar:
  • Zeros em x=-2,0,2.
  • Sai de ( -2,0 ), decresce até (-\sqrt2,-2), sobe passando por (0,0) até (\sqrt2,2), depois decresce até (2,0).
    O gráfico tem forma de “sela” invertida do lado esquerdo e um pico simétrico no lado direito.

Resposta

a) Pontos críticos internos: x=\pm\sqrt2. Fronteiras candidatas: x=\pm2.
b) Crescente em \bigl(-\sqrt2,\sqrt2\bigr); decrescente em \bigl(-2,-\sqrt2\bigr) e \bigl(\sqrt2,2\bigr).
c) Mínimo local em x=-\sqrt2 com f(-\sqrt2)=-2; máximo local em x=+\sqrt2 com f(\sqrt2)=2.
d) Esboço conforme descrito acima.

Exercícios relacionados