Para as funções abaixo, determine os pontos de máximo e mínimo absoluto da função no intervalo dado. Opcional: faça um esboço do gráfico da função.
f(x)=3 \cos (\pi x / 4), intervalo -1 \leq x \leq 1.

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=3\cos\bigl(\tfrac{\pi x}{4}\bigr) definida em [-1,1] e pede os pontos de máximo e mínimo absoluto. Vamos usar derivadas para encontrar pontos críticos e depois comparar com os valores nos extremos do intervalo.

Passo 2

Calculamos a derivada
f'(x) = -3 \cdot \frac{\pi}{4} \sin\bigl(\tfrac{\pi x}{4}\bigr).
Para achar os pontos críticos, resolvemos f'(x)=0, isto é,
\sin\bigl(\tfrac{\pi x}{4}\bigr)=0 \iff \tfrac{\pi x}{4} = k\pi \iff x = 4k.
No intervalo [-1,1], o único valor possível é x=0.

Passo 3

Avaliamos f nos candidatos x=-1, x=0 e x=1:
f(-1) = 3\cos\bigl(-\tfrac{\pi}{4}\bigr) = 3\cos\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) = 3\frac{\sqrt{2}}{2},
f(0) = 3\cos(0) = 3,
f(1) = 3\cos\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) = 3\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 4

Comparando os valores, temos f(0)=3 e f(\pm1)=3\frac{\sqrt{2}}{2}\approx2{,}12. Logo f(0) é o maior valor e f(\pm1) é o menor.

Resposta

O máximo absoluto ocorre em x=0 com f(0)=3.
Os mínimos absolutos ocorrem em x=-1 e x=1 com f(-1)=f(1)=3\frac{\sqrt{2}}{2}.

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