Para as funções abaixo,
a) determine os pontos críticos da função.
b) determine os intervalos onde a função é crescente e onde ela é decrescente.
c) determine os pontos de máximo e os pontos de mínimo locais da função.
d) Opcional: faça um esboço do gráfico da função.
a) determine os pontos críticos da função.
b) determine os intervalos onde a função é crescente e onde ela é decrescente.
c) determine os pontos de máximo e os pontos de mínimo locais da função.
d) Opcional: faça um esboço do gráfico da função.
Passo 1
O enunciado pede informações sobre a função
definida para
. Para isso, vamos usar cálculo de derivada primeira para achar pontos críticos, testar o sinal de
e então identificar intervalos de crescimento/decrescimento e extremos locais.
Passo 2
Calculemos a derivada primeira usando a regra do produto em
e a derivada de
:
Passo 3
Os pontos críticos vêm de resolver
:
Não há outros pontos críticos no domínio
.
Passo 4
Para saber onde
cresce ou decresce, analisamos o sinal de
para
,
(logo
é decrescente);
para ,
(logo
é crescente).
para
Passo 5
Em
a derivada muda de negativa para positiva, caracterizando um mínimo local. O valor da função é
Não há ponto de máximo local.
Passo 6
Esboço qualitativo de
: para
, nota-se
vindo de valores negativos; cai até o mínimo em
; depois cresce sem limite pois
.
Resposta
a) Ponto crítico:
.
b) Decrescente em ; crescente em
.
c) Mínimo local em ; não há máximo local.
d) Gráfico: cai de até
, depois cresce para
.
b) Decrescente em
c) Mínimo local em
d) Gráfico: cai de