Para as funções abaixo,
a) determine os pontos críticos da função.
b) determine os intervalos onde a função é crescente e onde ela é decrescente.
c) determine os pontos de máximo e os pontos de mínimo locais da função.
d) Opcional: faça um esboço do gráfico da função.
f(x)=x \cdot \ln (x)-x

Passo 1

O enunciado pede informações sobre a função
f(x)=x\ln(x)-x
definida para x>0. Para isso, vamos usar cálculo de derivada primeira para achar pontos críticos, testar o sinal de f'(x) e então identificar intervalos de crescimento/decrescimento e extremos locais.

Passo 2

Calculemos a derivada primeira usando a regra do produto em x\ln(x) e a derivada de -x:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl[x\ln(x)\bigr]-\frac{d}{dx}[x] =\bigl(1\cdot\ln(x)+x\cdot\tfrac{1}{x}\bigr)-1 =\ln(x)+1-1 =\ln(x).

Passo 3

Os pontos críticos vêm de resolver f'(x)=0:
\ln(x)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=1.
Não há outros pontos críticos no domínio x>0.

Passo 4

Para saber onde f cresce ou decresce, analisamos o sinal de
f'(x)=\ln(x):
para 0<x<1, \ln(x)<0 (logo f é decrescente);
para x>1, \ln(x)>0 (logo f é crescente).

Passo 5

Em x=1 a derivada muda de negativa para positiva, caracterizando um mínimo local. O valor da função é
f(1)=1\cdot\ln(1)-1=0-1=-1.
Não há ponto de máximo local.

Passo 6

Esboço qualitativo de f: para x\to0^+, nota-se \lim_{x\to0^+}f(x)=0 vindo de valores negativos; cai até o mínimo em (1,-1); depois cresce sem limite pois \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.

Resposta

a) Ponto crítico: x=1.
b) Decrescente em (0,1); crescente em (1,\infty).
c) Mínimo local em \bigl(1,-1\bigr); não há máximo local.
d) Gráfico: cai de f(0^+)=0 até (1,-1), depois cresce para +\infty.

Exercícios relacionados