Para as funções abaixo,
a) determine os pontos críticos da função.
b) determine os intervalos onde a função é crescente e onde ela é decrescente.
c) determine os pontos de máximo e os pontos de mínimo locais da função.
d) Opcional: faça um esboço do gráfico da função.
f(x)=3 \cos (x)+4 \operatorname{sen}(x).

Passo 1

O enunciado pede para analisar a função
f(x)=3\cos(x)+4\operatorname{sen}(x)
em toda a reta, encontrando (a) os pontos críticos, (b) os intervalos de crescimento e decrescimento, (c) os máximos e mínimos locais, e (d) (opcional) um esboço do gráfico. Vamos usar derivadas, teste de sinal e a forma fase-amplitude de uma soma de seno e cosseno.

Passo 2

Calculemos a derivada:
f'(x) = -3\operatorname{sen}(x) + 4\cos(x).
Para achar os pontos críticos resolvemos
-3\operatorname{sen}(x) + 4\cos(x) = 0 \quad\Longrightarrow\quad 4\cos(x) = 3\operatorname{sen}(x) \quad\Longrightarrow\quad \tan(x)=\tfrac{4}{3}.
Logo os pontos críticos são
x = \arctan\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr) + k\pi, \quad k\in\mathbb{Z}.
Denotemos \alpha=\arctan(4/3)\approx0,9273.

Passo 3

Para estudar o sinal de f'(x) escrevemos
-3\operatorname{sen}(x)+4\cos(x) =5\cos\bigl(x+\varphi\bigr),
onde \cos\varphi=4/5 e \operatorname{sen}\varphi=3/5 (isto é, \varphi=\arctan(3/4)\approx0,6435). Assim
f'(x)>0 \quad\Longleftrightarrow\quad \cos\bigl(x+\varphi\bigr)>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x+\varphi\in\bigl(-\tfrac{\pi}{2}+2\pi k,\;\tfrac{\pi}{2}+2\pi k\bigr).
Subtraindo \varphi, concluímos que f é crescente em
\bigl(-\tfrac{\pi}{2}-\varphi+2\pi k,\;\tfrac{\pi}{2}-\varphi+2\pi k\bigr)
e, complementarmente, decrescente em
\bigl(\tfrac{\pi}{2}-\varphi+2\pi k,\;\tfrac{3\pi}{2}-\varphi+2\pi k\bigr),
para todo k\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Os máximos locais ocorrem quando f' muda de positivo para negativo, isto é em
x+\varphi = \tfrac{\pi}{2} + 2\pi k \quad\Longrightarrow\quad x = \tfrac{\pi}{2}-\varphi + 2\pi k = \alpha + 2\pi k.
Nestes pontos f(x)=5.
Os mínimos locais ocorrem quando f' muda de negativo para positivo, isto é em
x+\varphi = \tfrac{3\pi}{2} + 2\pi k \quad\Longrightarrow\quad x = \tfrac{3\pi}{2}-\varphi + 2\pi k = \alpha + \pi + 2\pi k,
e nesses pontos f(x)=-5.

Passo 5

Um esboço de f(x) é uma senóide de amplitude 5, deslocada para a esquerda em \varphi\approx0,6435, com período 2\pi. O gráfico oscila entre -5 e 5, atingindo máximos em x=\alpha+2\pi k e mínimos em x=\alpha+\pi+2\pi k.

Resposta

(a) x=\arctan(4/3)+k\pi, k\in\mathbb{Z}.
(b) Crescente em \bigl(-\tfrac{\pi}{2}-\varphi+2\pi k,\;\tfrac{\pi}{2}-\varphi+2\pi k\bigr), decrescente no complemento (com \varphi=\arctan(3/4)).
(c) Máximos locais em x=\arctan(4/3)+2\pi k com f(x)=5; mínimos locais em x=\arctan(4/3)+\pi+2\pi k com f(x)=-5.
(d) Gráfico senoidal de amplitude 5, fase deslocada \varphi, período 2\pi.

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