Para as funções abaixo,
a) determine os pontos críticos da função.
b) determine os intervalos onde a função é crescente e onde ela é decrescente.
c) determine os pontos de máximo e os pontos de mínimo locais da função.
d) Opcional: faça um esboço do gráfico da função.
.
a) determine os pontos críticos da função.
b) determine os intervalos onde a função é crescente e onde ela é decrescente.
c) determine os pontos de máximo e os pontos de mínimo locais da função.
d) Opcional: faça um esboço do gráfico da função.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a função
em toda a reta, encontrando (a) os pontos críticos, (b) os intervalos de crescimento e decrescimento, (c) os máximos e mínimos locais, e (d) (opcional) um esboço do gráfico. Vamos usar derivadas, teste de sinal e a forma fase-amplitude de uma soma de seno e cosseno.
Passo 2
Calculemos a derivada:
Para achar os pontos críticos resolvemos
Logo os pontos críticos são
Denotemos
.
Passo 3
Para estudar o sinal de
escrevemos
onde
e
(isto é,
). Assim
Subtraindo
, concluímos que
é crescente em
e, complementarmente, decrescente em
para todo
.
Passo 4
Os máximos locais ocorrem quando
muda de positivo para negativo, isto é em
Nestes pontos
.
Os mínimos locais ocorrem quando muda de negativo para positivo, isto é em
Os mínimos locais ocorrem quando
e nesses pontos
.
Passo 5
Um esboço de
é uma senóide de amplitude
, deslocada para a esquerda em
, com período
. O gráfico oscila entre
e
, atingindo máximos em
e mínimos em
.
Resposta
(a)
,
.
(b) Crescente em , decrescente no complemento (com
).
(c) Máximos locais em com
; mínimos locais em
com
.
(d) Gráfico senoidal de amplitude , fase deslocada
, período
.
(b) Crescente em
(c) Máximos locais em
(d) Gráfico senoidal de amplitude