(35%) Estime a fugacidade e o coeficiente de fugacidade para uma mistura propileno/etileno em fase gasosa, com 35 \% de etileno, a 150^{\circ} \mathrm{C} e 30 bar .

Tabela B. 1

Espécie \omega T_{c}(K) P_{c}(\) bar ()\(&\)Z_{c}\(&\)V_{c}
Etileno (1) 0,087 282,3 50,40 0,281 131,0
Propileno (2) 0,140 365,6 46,65 0,289 188,4
Interação \omega_{i j} T_{c_{i j}} V_{c_{i j}} Z_{c_{i j}} P_{c_{i j}} T_{r_{i j}}
11 0,087 282,3 131,0 0,281 50,34 1,499
12 0,114 321,3 158,0 0,285 48,19 1,317
22 0,140 365,6 188,4 0,289 46,59 1,158

Passo 1

O enunciado pede para estimar a fugacidade f_i e o coeficiente de fugacidade \phi_i de uma mistura gasosa de etileno (espécie 1) e propileno (espécie 2), com x_1=0{,}35 e x_2=0{,}65, a T=150^\circ\mathrm{C}=423{,}15\\ \mathrm{K} e P=30\\ \mathrm{bar}. Vamos usar a equação de Peng–Robinson (PR) com regras de mistura usuais (k _{12}=0) e a função \alpha(T) de Soave para calcular os parâmetros a_i, b_i, depois misturar em a e b, resolver a equação cúbica para obter o fator de compressibilidade Z e, finalmente, calcular \ln\phi_i pela fórmula clássica de PR.

Passo 2

Calculemos primeiro, para cada componente, o parâmetro de forma de Soave
m_i = 0{,}37464 + 1{,}54226\,\omega_i - 0{,}26992\,\omega_i^2
e o fator \alpha_i:
\alpha_i = \Bigl[\,1 + m_i\bigl(1 - \sqrt{T/T_{c_i}}\bigr)\Bigr]^2.
Usando os dados da Tabela:
  • Para etileno ( i=1): \omega_1=0{,}087,\\ T_{c1}=282{,}3\\ \mathrm K.
    Calcula-se m_1\approx0{,}5067, T/T_{c1}\approx1{,}499, \alpha_1\approx0{,}786.
  • Para propileno ( i=2): \omega_2=0{,}140,\\ T_{c2}=365{,}6\\ \mathrm K.
    Calcula-se m_2\approx0{,}5852, T/T_{c2}\approx1{,}158, \alpha_2\approx0{,}912.
Em seguida, os parâmetros PR puros são
a_i = 0{,}45724\,\frac{R^2\,T_{c_i}^2}{P_{c_i}}\;\alpha_i, \quad b_i = 0{,}07780\,\frac{R\,T_{c_i}}{P_{c_i}},
com R=0{,}08314\\ \mathrm{L\,bar/(mol\,K)}. Isso dá
a_1\approx3{,}93,\quad b_1\approx0{,}0362;\qquad a_2\approx8{,}27,\quad b_2\approx0{,}0507
em unidades \mathrm{L^2\,bar/mol^2} e \mathrm{L/mol}, respectivamente.

Passo 3

Memória de mistura sem interação cruzada ( k_{12}=0):
a_{12} = \sqrt{a_1\,a_2}\approx5{,}70,
a = \sum_{i,j} x_i\,x_j\,a_{ij} = x_1^2\,a_1 +2\,x_1 x_2\,a_{12} + x_2^2\,a_2 \approx6{,}57,
b = \sum_i x_i\,b_i = x_1\,b_1 + x_2\,b_2 \approx0{,}0456.

Passo 4

Definimos
A = \frac{a\,P}{R^2\,T^2}\approx0{,}1593,\qquad B = \frac{b\,P}{R\,T}\approx0{,}0389
e resolvemos a cúbica de PR em Z:
Z^3 - (1-B)Z^2 + (A -2B -3B^2)Z - (A B -B^2 -B^3)=0.
A raiz real de interesse (fase gás) é
Z \approx0{,}879.

Passo 5

O coeficiente \phi_i em PR é dado por
\ln\phi_i = \frac{b_i}{b}(Z-1) - \ln(Z - B) - \frac{A}{2\sqrt2\,B}\Bigl(2\frac{\sum_j x_j\,a_{ij}}{a} - \frac{b_i}{b}\Bigr) \ln\frac{Z + (1+\sqrt2)B}{Z + (1-\sqrt2)B}.
Calculamos \sum_j x_j a_{ij} para cada i:
\sum_j x_j a_{1j}\approx5{,}080,\quad \sum_j x_j a_{2j}\approx7{,}371.
Substituindo os valores obtidos, chega-se a
\phi_1 \approx0{,}948,\qquad \phi_2 \approx0{,}855.
Finalmente, a fugacidade de cada componente é
f_i = \phi_i\,x_i\,P.

Resposta

fugacidade do etileno (1):
\phi_1 \approx0{,}948,\quad f_1 \approx0{,}948 \times 0{,}35 \times 30\\ \mathrm{bar} \approx9{,}96\\ \mathrm{bar}.
fugacidade do propileno (2):
\phi_2 \approx0{,}855,\quad f_2 \approx0{,}855 \times 0{,}65 \times 30\\ \mathrm{bar} \approx16{,}7\\ \mathrm{bar}.

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