Para as funções abaixo indicadas, mostre que
não existe, onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que o limite da função
quando
se aproxima de
não existe. Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, e para resolver isso, vamos precisar analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos do ponto
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um limite existir, ele deve ter o mesmo valor independente do caminho que escolhemos para nos aproximar do ponto. Então, uma boa estratégia é calcular o limite ao longo de diferentes caminhos e verificar se obtemos valores diferentes.
Passo 3
Vamos começar analisando o caminho onde
. Substituindo
na função:
Então, ao longo do eixo
, o limite é 0.
Passo 4
Agora, vamos considerar outro caminho, digamos
. Substituindo
por
:
Então, ao longo do caminho
, o limite é
.
Passo 5
Vemos que ao longo do eixo
o limite é 0, e ao longo de
o limite é
. Como esses dois limites são diferentes, isso significa que o limite geral não existe.
Resposta
O limite
não existe.