Para as funções
abaixo indicadas, mostre que
existe e calcule o seu valor, onde
Passo 1
Então, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o limite da função
quando
se aproxima de
. A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender o conceito de limite e como utilizar o Teorema do Aperta para “colar” os limites usando desigualdades.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. Sabemos que a função cosseno,
, sempre está entre -1 e 1, ou seja:
Passo 3
Como a função cosseno está limitada, podemos multiplicar todos os lados dessa desigualdade por
(que é sempre positivo ou zero) para obter:
Isso significa que o valor absoluto da nossa função
está sempre abaixo ou igual a
.
Passo 4
Agora, vamos pensar no que acontece quando
se aproxima de
. O valor de
também tende a zero, já que
está indo para zero. Portanto, temos:
Passo 5
Com isso, podemos aplicar o Teorema do Aperta (ou Teorema do Sanduíche), que nos diz que se uma função está “preso” entre duas outras funções que têm o mesmo limite, então ela própria tem esse limite. No nosso caso:
E já vimos que ambos os limites laterais são zero. Portanto, o limite de
também é zero.