Qual das funções abaixo possui os coeficiente da parte cosseno igual a zero e quais possui os coeficientes em relação a seno igual a zero?
Passo 1
O enunciado pede para identificar quais coeficientes da série de Fourier (os de cosseno an ou os de seno bn) se anulam para a função
no intervalo
. O conteúdo principal é a série de Fourier e vamos usar o critério de paridade para decidir quais coeficientes viram zero.
Passo 2
Vamos checar a paridade de
:
A função satisfaz
A função
Logo,
é uma função par.
Passo 3
Teoria de séries de Fourier:
- Se
é par, então todos os coeficientes de seno são zero. - Se
é ímpar, então todos os coeficientes de cosseno são zero.
Aqui, porser par, teremos para todo .
Passo 4
Em consequência, a parte de seno da expansão some (todos os
são zero) e a parte de cosseno permanece em geral com
.
Resposta
Para
, por ser função par, todos os coeficientes de seno
são zero e os coeficientes de cosseno
podem ser não nulos.