Qual das funções abaixo possui os coeficiente da parte cosseno igual a zero e quais possui os coeficientes em relação a seno igual a zero?

Passo 1

O enunciado pede para identificar quais coeficientes da série de Fourier (os de cosseno an ou os de seno bn) se anulam para a função f(x)=pi^2 - x^2 no intervalo -pi,pi. O conteúdo principal é a série de Fourier e vamos usar o critério de paridade para decidir quais coeficientes viram zero.

Passo 2

Vamos checar a paridade de f:
A função f(x)=pi^2 - x^2 satisfaz
f(-x)=pi^2 -(-x)^2=pi^2 - x^2=f(x)
Logo, f é uma função par.

Passo 3

Teoria de séries de Fourier:
  • Se f é par, então todos os coeficientes de seno bn são zero.
  • Se f é ímpar, então todos os coeficientes de cosseno an são zero.
    Aqui, por f ser par, teremos bn=0 para todo n.

Passo 4

Em consequência, a parte de seno da expansão some (todos os bn são zero) e a parte de cosseno permanece em geral com anneq0.

Resposta

Para f(x)=pi^2 - x^2, por ser função par, todos os coeficientes de seno bn são zero e os coeficientes de cosseno an podem ser não nulos.

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