( 1,5 pts ) Um sistema contínuo, linear, invariante no tempo e causal tem resposta ao degrau unitário dada por y1(t)=[1-t e^-t-e^-t] u(t). Para um sinal de entrada x(t) desconhecido, sabe-se que a saída desse mesmo sistema é dada por y2(t)=[2+3 e^-2 t+t e^-t-5 e^-t] u(t).
Determine a função de transferência H(s) do sistema.

Passo 1

O enunciado diz que temos um sistema contínuo, linear, invariante no tempo e causal cuja resposta ao degrau unitário é
y1(t)=l[1 - t e^-t - e^-tr]u(t)
Queremos achar a função de transferência H(s). Para sistemas LTI causais vale a relação H(s)=sY1(s), onde Y1(s) é a transformada de Laplace de y1(t).

Passo 2

Vamos calcular Y1(s)=Ly1(t). Para t>0 temos:
  • L1=1/s
  • Le^-t=1/(s+1)
  • Lt e^-t=1/(s+1)^2
    Logo,
Y1(s)=1s - 1(s+1)^2 - 1s+1

Passo 3

Agora usamos H(s)=s,Y1(s). Então:
H(s)=sl(1s - 1s+1 - 1(s+1)^2r) =1 - ss+1 - s(s+1)^2

Passo 4

Basta simplificar a expressão de H(s):
H(s)=(s+1)^2 - (s^2+2s)(s+1)^2 = 1(s+1)^2

Resposta

A função de transferência do sistema é H(s)=\tfrac{1}{(s+1)^{2}}.

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