As funções abaixo são pares, ímpares ou nenhuma das duas coisas?
(c) f(x)=x^{2}-11 x^{3}

Passo 1

O enunciado pede que se determine se a função f dada é par, ímpar ou nenhuma das duas. A função fornecida é:
f(x)=x^{2}-11x^{3}.
O que é pedido: classificar f como “par”, “ímpar” ou “nenhuma das duas”.

Passo 2

Relembrando as definições (isso é importante para a prova):
  • Uma função g é par se, para todo x no domínio, vale
g(-x)=g(x).
  • Uma função g é ímpar se, para todo x no domínio, vale
g(-x)=-g(x).
Método prático que sempre uso: calcular f(-x) explicitamente e comparar com f(x) e com -f(x). Se f(-x)=f(x) para todo x então é par; se f(-x)=-f(x) para todo x então é ímpar; se nenhuma dessas igualdades vale para todo x, então é nenhuma das duas.

Passo 3

Calcular f(-x) passo a passo:
f(-x)=(-x)^{2}-11(-x)^{3}.
Agora usar as propriedades das potências: (-x)^{2}=x^{2} porque potência par elimina o sinal, e (-x)^{3}=-x^{3} porque potência ímpar conserva o sinal negativo. Substituindo:
f(-x)=x^{2}-11(-x^{3})=x^{2}+11x^{3}.

Passo 4

Comparar f(-x) com f(x) e com -f(x).
  1. Comparação com f(x):
f(x)=x^{2}-11x^{3},\qquad f(-x)=x^{2}+11x^{3}.
Para que f(-x)=f(x) para todo x seria necessário
x^{2}+11x^{3}=x^{2}-11x^{3}.
Subtraindo x^{2} dos dois lados obtemos
11x^{3}=-11x^{3}\quad\Longrightarrow\quad 22x^{3}=0.
Essa igualdade só é verdadeira para x=0, não para todo x. Portanto a condição de função par falha.
  1. Comparação com -f(x):
-f(x)=-\bigl(x^{2}-11x^{3}\bigr)=-x^{2}+11x^{3}.
Queremos ver se f(-x)= -f(x), ou seja se
x^{2}+11x^{3} = -x^{2}+11x^{3}.
Subtraindo 11x^{3} dos dois lados:
x^{2} = -x^{2}\quad\Longrightarrow\quad 2x^{2}=0.
Isso também só ocorre para x=0, não para todo x. Portanto a condição de função ímpar também falha.

Passo 5

Um teste numérico rápido para sentir a diferença (útil na prova se estiver em dúvida): escolher x=1.
f(1)=1^{2}-11\cdot1^{3}=1-11=-10, \qquad f(-1)=(-1)^{2}-11(-1)^{3}=1+11=12.
Aqui f(-1) não é igual a f(1) (pois 12\neq-10) e também não é igual a -f(1) (pois -f(1)=10\neq12). Isso confirma na prática o que a álgebra mostrou: nenhuma das condições é satisfeita para todos os x\neq0.

Passo 6

Uma observação geral que ajuda a responder rápido: polinômios são somas de termos de potências. Termos com potência par (como x^{2}) são “par-parte” e termos com potência ímpar (como x^{3}) são “ímpar-parte”. Um polinômio é par somente se todos os coeficientes de potências ímpares forem zero; é ímpar somente se todos os coeficientes de potências pares forem zero. Aqui há simultaneamente o termo x^{2} (potência par, coeficiente 1) e o termo x^{3} (potência ímpar, coeficiente -11), ambos com coeficiente não nulo — por isso o polinômio não satisfaz nem a condição de paridade nem a de imparidade.

Resposta

Nenhuma das duas.

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