As funções abaixo são pares, ímpares ou nenhuma das duas coisas?
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado pede que se determine se a função
dada é par, ímpar ou nenhuma das duas. A função fornecida é:
O que é pedido: classificar
como “par”, “ímpar” ou “nenhuma das duas”.
Passo 2
Relembrando as definições (isso é importante para a prova):
- Uma função
é par se, para todo no domínio, vale
- Uma função
é ímpar se, para todo no domínio, vale
Método prático que sempre uso: calcular
explicitamente e comparar com
e com
. Se
para todo
então é par; se
para todo
então é ímpar; se nenhuma dessas igualdades vale para todo
, então é nenhuma das duas.
Passo 3
Calcular
passo a passo:
Agora usar as propriedades das potências:
porque potência par elimina o sinal, e
porque potência ímpar conserva o sinal negativo. Substituindo:
Passo 4
Comparar
com
e com
.
- Comparação com
:
Para que
para todo
seria necessário
Subtraindo
dos dois lados obtemos
Essa igualdade só é verdadeira para
, não para todo
. Portanto a condição de função par falha.
- Comparação com
:
Queremos ver se
, ou seja se
Subtraindo
dos dois lados:
Isso também só ocorre para
, não para todo
. Portanto a condição de função ímpar também falha.
Passo 5
Um teste numérico rápido para sentir a diferença (útil na prova se estiver em dúvida): escolher
.
Aqui
não é igual a
(pois
) e também não é igual a
(pois
). Isso confirma na prática o que a álgebra mostrou: nenhuma das condições é satisfeita para todos os
.
Passo 6
Uma observação geral que ajuda a responder rápido: polinômios são somas de termos de potências. Termos com potência par (como
) são “par-parte” e termos com potência ímpar (como
) são “ímpar-parte”. Um polinômio é par somente se todos os coeficientes de potências ímpares forem zero; é ímpar somente se todos os coeficientes de potências pares forem zero. Aqui há simultaneamente o termo
(potência par, coeficiente
) e o termo
(potência ímpar, coeficiente
), ambos com coeficiente não nulo — por isso o polinômio não satisfaz nem a condição de paridade nem a de imparidade.
Resposta
Nenhuma das duas.