Obtenha as séries de Fourier das funções abaixo sem calcular nenhuma integral.
Sugestão: Quais são os coeficientes de Fourier de uma soma finita da forma
Utilize as fórmulas da questão anterior.
(b)
;
Sugestão: Quais são os coeficientes de Fourier de uma soma finita da forma
(b)
Passo 1
O enunciado pede: obter a série de Fourier da função
no intervalo
, sem calcular integrais, usando a sugestão sobre uma soma trigonométrica finita
Informações relevantes que temos:
- O intervalo é
, portanto e os modos trigonométricos são e . - A sugestão indica que a função pode ser expressa como soma finita de cossenos e senos; não se pode (e não se deve) calcular integrais aqui.
- O objetivo é identificar os coeficientes
da série de Fourier de .
Passo 2
Ideia para não calcular integrais: usar identidades trigonométricas para escrever
como combinação linear de senos de múltiplos ângulos (um polinômio trigonométrico finito). Se conseguirmos escrever
(ou forma similar), então já teremos a série de Fourier, porque essa é exatamente uma soma finita do tipo pedido com apenas termos
.
Passo 3
Derivar a identidade para
a partir da fórmula do ângulo triplo. Começamos com
Substituindo
e
obtemos:
Agora usamos
para simplificar:
Somando os termos:
Isolando
vem a identidade desejada:
Passo 4
A identidade encontrada escreve
como soma finita de senos:
Comparando com a forma geral da série de Fourier em
observa-se que:
- não há termo constante:
; - não há termos de cosseno:
para todo ; - só aparecem termos de seno para
e , com coeficientes e ; - para
vale .
Também vale comentar (útil na prova):
é função ímpar, então sua série tem apenas termos em
, o que é consistente com o resultado acima.
Passo 5
Interpretação final e lembrete prático: a série de Fourier de
no intervalo
é exatamente a identidade trigonométrica obtida; não foi necessário calcular integrais porque a função já é um polinômio trigonométrico finito (soma de senos), e os coeficientes foram lidos por comparação termo a termo.
Resposta
Coeficientes:
para
.