Obtenha as séries de Fourier das funções abaixo sem calcular nenhuma integral.
Sugestão: Quais são os coeficientes de Fourier de uma soma finita da forma
p(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{N}\left[a_{n} \cos \left(\frac{n \pi}{L} x\right)+b_{n} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi}{L} x\right)\right] ?
Utilize as fórmulas da questão anterior.
(b) f(x)=\operatorname{sen}^{3}(x), \quad-\pi \leq x \leq \pi;

Passo 1

O enunciado pede: obter a série de Fourier da função f(x)=\operatorname{sen}^{3}(x) no intervalo -\pi\le x\le\pi, sem calcular integrais, usando a sugestão sobre uma soma trigonométrica finita
p(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{N}\left[a_{n}\cos\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)+b_{n}\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\right].
Informações relevantes que temos:
  • O intervalo é -\pi\le x\le\pi, portanto L=\pi e os modos trigonométricos são \cos(nx) e \sin(nx).
  • A sugestão indica que a função pode ser expressa como soma finita de cossenos e senos; não se pode (e não se deve) calcular integrais aqui.
  • O objetivo é identificar os coeficientes a_0, a_n, b_n da série de Fourier de f.

Passo 2

Ideia para não calcular integrais: usar identidades trigonométricas para escrever \operatorname{sen}^{3}x como combinação linear de senos de múltiplos ângulos (um polinômio trigonométrico finito). Se conseguirmos escrever
\operatorname{sen}^{3}x=c_1\sin x + c_3\sin 3x
(ou forma similar), então já teremos a série de Fourier, porque essa é exatamente uma soma finita do tipo pedido com apenas termos \sin(nx).

Passo 3

Derivar a identidade para \operatorname{sen}^{3}x a partir da fórmula do ângulo triplo. Começamos com
\sin(3x)=\sin(2x+x)=\sin(2x)\cos x+\cos(2x)\sin x.
Substituindo \sin(2x)=2\sin x\cos x e \cos(2x)=1-2\sin^{2}x obtemos:
\sin(3x)=2\sin x\cos^{2}x + (1-2\sin^{2}x)\sin x.
Agora usamos \cos^{2}x=1-\sin^{2}x para simplificar:
2\sin x\cos^{2}x = 2\sin x(1-\sin^{2}x)=2\sin x - 2\sin^{3}x.
Somando os termos:
\sin(3x)=(2\sin x - 2\sin^{3}x) + (\sin x - 2\sin^{3}x)=3\sin x - 4\sin^{3}x.
Isolando \sin^{3}x vem a identidade desejada:
\sin^{3}x=\frac{3\sin x - \sin 3x}{4}.

Passo 4

A identidade encontrada escreve \operatorname{sen}^{3}x como soma finita de senos:
\operatorname{sen}^{3}x=\frac{3}{4}\sin x - \frac{1}{4}\sin 3x.
Comparando com a forma geral da série de Fourier em [- \pi,\pi]
\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl[a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)\bigr],
observa-se que:
  • não há termo constante: a_{0}=0;
  • não há termos de cosseno: a_{n}=0 para todo n\ge1;
  • só aparecem termos de seno para n=1 e n=3, com coeficientes b_{1}=\tfrac{3}{4} e b_{3}=-\tfrac{1}{4};
  • para n\ne1,3 vale b_{n}=0.
Também vale comentar (útil na prova): \operatorname{sen}^{3}x é função ímpar, então sua série tem apenas termos em \sin(nx), o que é consistente com o resultado acima.

Passo 5

Interpretação final e lembrete prático: a série de Fourier de \operatorname{sen}^{3}x no intervalo [- \pi,\pi] é exatamente a identidade trigonométrica obtida; não foi necessário calcular integrais porque a função já é um polinômio trigonométrico finito (soma de senos), e os coeficientes foram lidos por comparação termo a termo.

Resposta

\operatorname{sen}^{3}x=\frac{3}{4}\sin x-\frac{1}{4}\sin 3x,\qquad -\pi\le x\le\pi.
Coeficientes: a_{0}=0,\; a_{n}=0\\ (n\ge1),\; b_{1}=\tfrac{3}{4},\; b_{3}=-\tfrac{1}{4},\; b_{n}=0 para n\ne1,3.

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