Obtenha as séries de Fourier das funções abaixo sem calcular nenhuma integral.
Sugestão: Quais são os coeficientes de Fourier de uma soma finita da forma
p(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{N}\left[a_{n} \cos \left(\frac{n \pi}{L} x\right)+b_{n} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi}{L} x\right)\right] ?
Utilize as fórmulas da questão anterior.
(d) f(x)=\operatorname{sen}(x)[\operatorname{sen}(x)+\cos (x)]^{2}, \quad-\pi \leq x \leq \pi;

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier da função definida em [-\pi,\pi]
f(x)=\sin x\bigl(\sin x+\cos x\bigr)^{2}.
A sugestão lembra que, se uma função é igual a uma soma finita do tipo
p(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{N}\left[a_{n}\cos\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)+b_{n}\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\right],
então os coeficientes de Fourier são exatamente os a_n e b_n dessa soma. Aqui o intervalo é [-\pi,\pi], logo L=\pi e a série geral tem a forma
\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl[a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)\bigr].
O objetivo é escrever f(x) como uma soma finita de cossenos e senos (usando identidades trigonométricas) e, a partir daí, ler os coeficientes sem calcular integrais.

Passo 2

Primeiro, expandir o quadrado dentro de f algebricamente:
f(x)=\sin x\bigl(\sin^{2}x+2\sin x\cos x+\cos^{2}x\bigr).
Usando a identidade \sin^{2}x+\cos^{2}x=1, obtemos
f(x)=\sin x\bigl(1+2\sin x\cos x\bigr)=\sin x+2\sin^{2}x\cos x.

Passo 3

Agora transformar \sin^{2}x\cos x em combinações de senos/cossenos de múltiplos ângulos. Usar a identidade do ângulo duplo
\sin^{2}x=\frac{1-\cos(2x)}{2}.
Substituindo,
\sin^{2}x\cos x=\frac{1}{2}\bigl(1-\cos(2x)\bigr)\cos x=\frac{1}{2}\cos x-\frac{1}{2}\cos(2x)\cos x.
Usar agora a identidade produto-para-soma para cossenos:
\cos A\cos B=\frac{1}{2}\bigl(\cos(A+B)+\cos(A-B)\bigr).
Com A=2x e B=x vem
\cos(2x)\cos x=\frac{1}{2}\bigl(\cos(3x)+\cos x\bigr).
Substituindo na expressão anterior:
\sin^{2}x\cos x=\frac{1}{2}\cos x-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\bigl(\cos(3x)+\cos x\bigr) =\frac{1}{2}\cos x-\frac{1}{4}\cos(3x)-\frac{1}{4}\cos x.
Portanto
\sin^{2}x\cos x=\frac{1}{4}\cos x-\frac{1}{4}\cos(3x).

Passo 4

Voltar para f(x)=\sin x+2\sin^{2}x\cos x e substituir o resultado do passo anterior:
f(x)=\sin x+2\left(\frac{1}{4}\cos x-\frac{1}{4}\cos(3x)\right) =\sin x+\frac{1}{2}\cos x-\frac{1}{2}\cos(3x).
Logo f(x) já está escrita como uma soma finita de cossenos e senos.

Passo 5

Comparar com a série de Fourier na forma padrão para L=\pi:
\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl[a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)\bigr].
Da expressão obtida
f(x)=\frac{1}{2}\cos x-\frac{1}{2}\cos(3x)+\sin x,
lê-se imediatamente os coeficientes:
  • a_{0}=0.
  • a_{1}=\tfrac{1}{2}, a_{3}=-\tfrac{1}{2}, e a_{n}=0 para n\neq 1,3.
  • b_{1}=1 e b_{n}=0 para n\neq 1.

Resposta

f(x)=\frac{1}{2}\cos x-\frac{1}{2}\cos(3x)+\sin x

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