Obtenha as séries de Fourier das funções abaixo sem calcular nenhuma integral.
Sugestão: Quais são os coeficientes de Fourier de uma soma finita da forma
Utilize as fórmulas da questão anterior.
(d)
;
Sugestão: Quais são os coeficientes de Fourier de uma soma finita da forma
(d)
Passo 1
O enunciado pede a série de Fourier da função definida em
A sugestão lembra que, se uma função é igual a uma soma finita do tipo
então os coeficientes de Fourier são exatamente os
e
dessa soma. Aqui o intervalo é
, logo
e a série geral tem a forma
O objetivo é escrever
como uma soma finita de cossenos e senos (usando identidades trigonométricas) e, a partir daí, ler os coeficientes sem calcular integrais.
Passo 2
Primeiro, expandir o quadrado dentro de
algebricamente:
Usando a identidade
, obtemos
Passo 3
Agora transformar
em combinações de senos/cossenos de múltiplos ângulos. Usar a identidade do ângulo duplo
Substituindo,
Usar agora a identidade produto-para-soma para cossenos:
Com
e
vem
Substituindo na expressão anterior:
Portanto
Passo 4
Voltar para
e substituir o resultado do passo anterior:
Logo
já está escrita como uma soma finita de cossenos e senos.
Passo 5
Comparar com a série de Fourier na forma padrão para
:
Da expressão obtida
lê-se imediatamente os coeficientes:
-
. -
, , e para . -
e para .