Quais das funções abaixo são soluções da equação diferencial y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+y ?
y=2 x^{2}-2

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar se a função
y(x)=2x^{2}-2
é solução da equação diferencial
y'' - x\,y' + y = 0.
Para isso, precisamos calcular y' e y'' e substituir na equação.

Passo 2

Calculemos as derivadas de y:
y(x)=2x^{2}-2 \quad\Longrightarrow\quad y'(x)=4x, \quad y''(x)=4.

Passo 3

Substituindo y, y' e y'' em y'' - x\,y' + y, temos
y'' - x\,y' + y =4 \;-\; x\cdot(4x)\;+\;(2x^{2}-2).

Passo 4

Agora simplificamos:
4 - 4x^{2} + 2x^{2} - 2 =2 - 2x^{2} =2\bigl(1 - x^{2}\bigr).
Como isso não é identicamente zero para todo x, concluímos que y(x)=2x^{2}-2 não satisfaz a equação diferencial.

Resposta

A função y=2x^{2}-2 não é solução da equação diferencial.

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