Quais das funções abaixo são soluções da equação diferencial y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+y ?
y=1-x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função y=1-x^{2}
é solução da equação diferencial
y'' - x\,y' + y = 0.
Para isso vamos calcular y' e y'' e substituir na equação.

Passo 2

Calculamos as derivadas de y: y = 1 - x^{2} implica
y' = \frac{d}{dx}(1 - x^{2}) = -2x,
y'' = \frac{d}{dx}(-2x) = -2.

Passo 3

Substituímos y, y' e y'' em \;y'' - x\,y' + y:
y'' - x\,y' + y = (-2) \;-\; x\cdot(-2x)\;+\;(1 - x^{2}).
Agora simplificamos:
-2 \;+\; 2x^{2} \;+\;1 \;-\; x^{2} = (2x^{2}-x^{2}) + (-2+1) = x^{2} - 1.

Passo 4

O resultado da substituição é
y'' - x\,y' + y = x^{2} - 1.
Para ser solução, essa expressão teria de ser zero para todo x, mas x^{2}-1\neq0 em geral. Portanto y=1-x^{2} não satisfaz a equação diferencial.

Resposta

A função y=1-x^{2} não é solução da equação diferencial.

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