Para as funções
e
, calcular
e
. Fornecer os domínios de
e para cada operação resultante.
f)
f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as operações
,
,
e
para as funções dadas:
Além disso, precisamos determinar os domínios de
,
e de cada operação resultante. Para isso, vamos precisar entender como multiplicar, dividir funções e também trabalhar com os domínios dessas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio de
. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
A função
envolve uma raiz de índice 8 e uma divisão.
- A raiz de índice par (como a oitava raiz) exige que o radicando seja positivo (não pode ser zero porque está no denominador).
- Portanto,
está definida para .
Além disso, não pode haver divisão por zero, então
, o que já está garantido pois
.
Domínio de
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o domínio de
.
A função é a função seno, que está definida para todos os números reais.
Domínio de
:
Passo 4
Vamos calcular
e determinar o domínio dessa operação.
A multiplicação de funções é simplesmente multiplicar os valores de
e
para cada
.
Domínio de
:
Devemos considerar os domínios de ambas as funções. Como está definido para
e
está definido para todo
, o domínio da multiplicação será onde ambas as funções estão definidas.
Devemos considerar os domínios de ambas as funções. Como
Passo 5
Agora, vamos calcular
e determinar o domínio dessa operação.
A divisão de funções é
, mas precisamos garantir que
para evitar divisão por zero.
Domínio de
:
Devemos:
Devemos:
-
(domínio de )
A função quando
, onde
é qualquer inteiro.
Então, o domínio será todos os
exceto os múltiplos de
:
Passo 6
Agora, temos que calcular
e
. Pelo contexto, vamos interpretar
como a composição de
e
, ou seja,
, e
como
.
Composição de funções
:
Domínio de
:
Para que esteja definido:
Para que
- (já que está dentro da raiz de índice 8)
- deve estar dentro do domínio de
, ou seja,
A função quando
está em determinados intervalos, como
, onde
é qualquer inteiro.
Domínio de
(ou
):
Composição de funções
:
Domínio de
:
Para estar definido:
Para
-
deve estar definido, ou seja, .
A função seno está definida para todos os reais, então não há restrições adicionais.
Resposta
As operações e seus respectivos domínios são:
-
Multiplicação
: -
Divisão
: -
Composição
(ou ): -
Composição
(ou ):