Para as funções de corrente varphi=x y+x^2, em m^2 / s, determine a magnitude e ângulo dos vetores velocidade com o eixo x, na posição x=2 m e y=4 m.

Passo 1

Beleza, então o enunciado tá assim: temos uma função de corrente φ(x,y)=x·y + x² (unidade m²/s) e queremos achar a velocidade (que é um vetor) naquela posição x=2 m, y=4 m. O conteúdo é a relação entre função de corrente e velocidade em escoamentos bidimensionais. Para resolver, a gente vai precisar:
  1. Saber que, a partir de φ, as componentes da velocidade são
    u = ∂φ/∂y e v = –∂φ/∂x
  2. Calcular essas derivadas, avaliar em (2,4), depois achar a magnitude (Pitagoras) e o ângulo (arctan).

Passo 2

Vamos achar as fórmulas gerais:
  1. u(x,y) = ∂φ/∂y. Como φ=xy + x², derivando em relação a y:
    u = ∂(xy)/∂y + ∂(x²)/∂y = x + 0 = x
  2. v(x,y) = –∂φ/∂x. Derivando φ em relação a x e lembrando do sinal menos:
    ∂φ/∂x = ∂(xy)/∂x + ∂(x²)/∂x = y + 2x
    então v = –(y + 2x)

Passo 3

Agora, avalia em x=2 m e y=4 m:
u(2,4) = x = 2
v(2,4) = –(y + 2x) = –(4 + 2·2) = –(4 + 4) = –8
Logo, o vetor velocidade é v = (u,v) = (2, –8) em m/s.

Passo 4

Magnitude do vetor velocidade:
|v| = raizu^2 + v^2 = raiz2^2 + (-8)^2 = raiz4 + 64 = raiz68 = 2raiz17,(approx 8,246 m/s)

Passo 5

Ângulo θ em relação ao eixo x:
theta = arctan!l(tfracvur) = arctan!l(tfrac-82r) = arctan(-4) approx -75,96^circ
Esse ângulo é medido positivo para cima; como deu negativo, o vetor está ~75,96° para baixo do eixo x. Se preferir em 0–360°, é 360–75,96=284,04°.

Resposta

Magnitude: .
Ângulo com o eixo x: (ou no sentido padrão).

Exercícios relacionados