Para as funções de corrente
, em
, determine a magnitude e ângulo dos vetores velocidade com o eixo
, na posição
e
.
Passo 1
Beleza, então o enunciado tá assim: temos uma função de corrente φ(x,y)=x·y + x² (unidade m²/s) e queremos achar a velocidade (que é um vetor) naquela posição x=2 m, y=4 m. O conteúdo é a relação entre função de corrente e velocidade em escoamentos bidimensionais. Para resolver, a gente vai precisar:
- Saber que, a partir de φ, as componentes da velocidade são
u = ∂φ/∂y e v = –∂φ/∂x - Calcular essas derivadas, avaliar em (2,4), depois achar a magnitude (Pitagoras) e o ângulo (arctan).
Passo 2
Vamos achar as fórmulas gerais:
- u(x,y) = ∂φ/∂y. Como φ=xy + x², derivando em relação a y:
u = ∂(xy)/∂y + ∂(x²)/∂y = x + 0 = x - v(x,y) = –∂φ/∂x. Derivando φ em relação a x e lembrando do sinal menos:
∂φ/∂x = ∂(xy)/∂x + ∂(x²)/∂x = y + 2x
então v = –(y + 2x)
Passo 3
Agora, avalia em x=2 m e y=4 m:
u(2,4) = x = 2
v(2,4) = –(y + 2x) = –(4 + 2·2) = –(4 + 4) = –8
u(2,4) = x = 2
v(2,4) = –(y + 2x) = –(4 + 2·2) = –(4 + 4) = –8
Logo, o vetor velocidade é v = (u,v) = (2, –8) em m/s.
Passo 4
Magnitude do vetor velocidade:
Passo 5
Ângulo θ em relação ao eixo x:
Esse ângulo é medido positivo para cima; como deu negativo, o vetor está ~75,96° para baixo do eixo x. Se preferir em 0–360°, é 360–75,96=284,04°.
Resposta
Magnitude:
.
Ângulo com o eixo x: (ou
no sentido padrão).
Ângulo com o eixo x: