Seja ( escoamento de um fluido em que o campo de velocidades num plano xy é dado por: Vx=x t^2 ; Vy=x y t. Determinar as componentes ax, e ay, do campo de acelerações:

Passo 1

Beleza, então o exercício diz que num escoamento plano temos um campo de velocidades dado por
Vx = x,t^2 e Vy = x,y,t. A gente precisa achar as componentes da aceleração, ou seja, ax e ay. Isso é um problema de Dinâmica de Fluidos, mais especificamente de aceleração material, que é
a = partial Vpartial t + (Vcdotnabla)V
Vamos usar justamente essa fórmula, calculando primeiro a derivada parcial no tempo e depois a parte convectiva (Vcdotnabla)V.

Passo 2

Começando pela derivada parcial no tempo:
  • Para Vx = x,t^2, fixando x e y, partial Vxpartial t = xcdot 2t = 2,x,t
    - Para Vy = x,y,t, fixando x e y,
    partial Vypartial t = x,ycdot 1 = x,y

Passo 3

Agora a parte convectiva, que é (Vcdotnabla)V. Vamos separar em componentes:
  1. Componente x:
(Vcdotnabla)Vx = Vxpartial Vxpartial x + Vypartial Vxpartial y
- partial Vxpartial x = partial (x,t^2)partial x = t^2
- partial Vxpartial y = 0
Logo
(Vcdotnabla)Vx = (x t^2),(t^2) + (x y t),(0) = x,t^4
  1. Componente y:
(Vcdotnabla)Vy = Vxpartial Vypartial x + Vypartial Vypartial y
- partial Vypartial x = partial (x,y,t)partial x = y,t
- partial Vypartial y = x,t
Logo
(Vcdotnabla)Vy = (x t^2),(y t) + (x y t),(x t) = x,y,t^3 + x^2,y,t^2

Passo 4

Agora é só somar cada parte:
  • Para ax:
ax = partial Vxpartial t + (Vcdotnabla)Vx = 2,x,t + x,t^4
- Para ay:
ay = partial Vypartial t + (Vcdotnabla)Vy = x,y + x,y,t^3 + x^2,y,t^2

Resposta

ax = 2,x,t + x,t^4, ay = x,y + x,y,t^3 + x^2,y,t^2$$

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