As funções custo total e receita total, dadas em reais, para um determinado bem são, respectivamente: C=50.000+400q e R=700q onde q (em toneladas) é a quantidade produzida e comercializada. Qual deve ser a quantidade (aproximada) produzida e comercializada desse bem para que o lucro seja igual a R$ 60.000,00?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem as funções de Custo Total © e Receita Total ® para um certo produto. Queremos descobrir quantas toneladas desse produto precisam ser produzidas e vendidas para que o lucro seja de R$ 60.000,00. Vamos usar conceitos de funções lineares e lucro, que é basicamente a diferença entre a receita e o custo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o lucro (L) é calculado subtraindo o custo total da receita total:
L = R - C
Aqui, a função de custo total é $ C = 50.000 + 400q $ e a receita total é $ R = 700q $, onde $ q $ é a quantidade produzida e vendida em toneladas.

Passo 3

Queremos que o lucro seja igual a R$ 60.000,00. Então, substituindo os valores na equação do lucro:
60.000,00 Então, substituindo os valores na equação do lucro:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a equação. Primeiro, distribua o sinal negativo:
60.000 = 700q - 50.000 - 400q
Em seguida, combine os termos semelhantes:
60.000 = (700q - 400q) - 50.000
60.000 = 300q - 50.000

Passo 5

Vamos isolar $ q $ na equação. Primeiro, some R$ 50.000,00 em ambos os lados:
q
50.000,00 em ambos os lados:
Agora, divida ambos os lados por 300 para encontrar $ q $:
60.000 + 50.000 = 300q

Resposta

Portanto, a quantidade aproximada que deve ser produzida e comercializada para obter um lucro de R$ 60.000,00 é de 367 toneladas.

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