Para as funções dadas abaixo, faça um esboço de seu gráfico indicando suas raízes reais, determine seu maior domínio possível e imagem.
f(x) = x^5 - 32

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar a função . O que isso envolve? A gente vai:
  1. Encontrar as raízes reais da função, ou seja, os valores de que fazem .
  2. Determinar o maior domínio possível, que é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
  3. Descobrir a imagem da função, que é o conjunto de todos os possíveis valores de .
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra e análise de funções. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as raízes reais da função . As raízes são os valores de que tornam . Então, vamos resolver a equação:
Isso é praticamente . Para achar , tiramos a quinta raiz de 32:
Sabemos que , então:
Então, a única raiz real dessa função é .

Passo 3

Agora, vamos pensar no domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de que a função pode aceitar sem problemas. Nossa função é , que é um polinômio.
Polinômios são legais porque não têm restrições como divisão por zero ou raízes de números negativos (como acontece com funções quadradas, por exemplo). Isso significa que a gente pode colocar qualquer número real no lugar de e obter um resultado válido.
Portanto, o domínio de é:
í
Ou seja, todos os números reais.

Passo 4

Agora, vamos para a imagem da função, que é o conjunto de todos os possíveis valores de . Para funções polinomiais de grau ímpar, como nossa função de quinto grau, o gráfico se comporta de uma forma específica:
  • Quando vai para , também vai para .
  • Quando vai para , vai para .
Isso significa que a função pode produzir qualquer número real como saída. Não há limites para os valores que pode assumir.
Portanto, a imagem de é:
Ou seja, todos os números reais.

Resposta

A função tem uma única raiz real em , seu domínio é todos os números reais ( ) e sua imagem também é todos os números reais ( ).

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