Para as funções racionais dadas abaixo, faça um esboço de seu gráfico, determine seu maior domínio possível e imagem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para a gente esboçar o gráfico da função
, além de encontrar o maior domínio e a imagem dela. Isso envolve entender funções racionais, encontrar onde a função está definida e onde ela pode assumir valores. Vamos precisar saber como identificar pontos que tornam o denominador zero e como analisar o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o domínio da função. O domínio são todos os valores de
que a gente pode colocar na função sem que ela fique indefinida. Como a função é racional (ou seja, uma fração de polinômios), precisamos garantir que o denominador nunca seja zero.
O denominador é
. Vamos resolver onde ele é zero:
Então,
e
deixam o denominador zero, o que significa que a função não está definida nesses pontos. Logo, o domínio da função é todos os números reais exceto
e
.
Passo 3
Agora, vamos tentar simplificar a função se possível. Olhando para o numerador
e o denominador
, vamos ver se conseguimos dividir o numerador pelo denominador.
Fazendo a divisão polinomial:
Não dá para simplificar mais, então vamos manter a função assim mesmo. Isso já nos ajuda a entender melhor o comportamento da função.
Passo 4
Vamos identificar as assíntotas da função, que são linhas que o gráfico da função se aproxima mas nunca toca.
-
Assíntotas verticais: São os valores de
que fazem o denominador ser zero. Já vimos que e são esses valores. Então, temos assíntotas verticais em e . -
Assíntota oblíqua: Quando o grau do numerador é maior que o do denominador, a gente tem uma assíntota oblíqua. No nosso caso, o grau do numerador é 3 e o do denominador é 2, então vamos encontrar a equação dessa assíntota. Já vimos que a divisão dá
, então a assíntota oblíqua é .
Passo 5
Vamos achar alguns pontos importantes para esboçar o gráfico:
- Interseção com o eixo y: É o valor de
.
Então, o gráfico passa pelo ponto
.
- Comportamento para
indo para infinito: Como temos uma assíntota oblíqua, para muito grande positivo ou negativo, o gráfico vai se aproximar da linha .
Passo 6
Resumo dos componentes da função:
- Domínio:
- Assíntotas verticais:
e - Assíntota oblíqua:
- Interseção com o eixo y:
- Imagem: Como a função pode assumir todos os valores reais através de suas assíntotas e comportamento, a imagem é
.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Gráfico:
- Assíntotas verticais em
e . - Assíntota oblíqua em
. - A função intercepta o eixo y no ponto
.