Para as funções racionais dadas abaixo, faça um esboço de seu gráfico, determine seu maior domínio possível e imagem:
f(x) = (-2 x^3 + 3 x^2 + 8 x - 14) / (x^2 - 4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para a gente esboçar o gráfico da função , além de encontrar o maior domínio e a imagem dela. Isso envolve entender funções racionais, encontrar onde a função está definida e onde ela pode assumir valores. Vamos precisar saber como identificar pontos que tornam o denominador zero e como analisar o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o domínio da função. O domínio são todos os valores de que a gente pode colocar na função sem que ela fique indefinida. Como a função é racional (ou seja, uma fração de polinômios), precisamos garantir que o denominador nunca seja zero.
O denominador é . Vamos resolver onde ele é zero:
Então, e deixam o denominador zero, o que significa que a função não está definida nesses pontos. Logo, o domínio da função é todos os números reais exceto e .

Passo 3

Agora, vamos tentar simplificar a função se possível. Olhando para o numerador e o denominador , vamos ver se conseguimos dividir o numerador pelo denominador.
Fazendo a divisão polinomial:
Não dá para simplificar mais, então vamos manter a função assim mesmo. Isso já nos ajuda a entender melhor o comportamento da função.

Passo 4

Vamos identificar as assíntotas da função, que são linhas que o gráfico da função se aproxima mas nunca toca.
  • Assíntotas verticais: São os valores de que fazem o denominador ser zero. Já vimos que e são esses valores. Então, temos assíntotas verticais em e .
  • Assíntota oblíqua: Quando o grau do numerador é maior que o do denominador, a gente tem uma assíntota oblíqua. No nosso caso, o grau do numerador é 3 e o do denominador é 2, então vamos encontrar a equação dessa assíntota. Já vimos que a divisão dá , então a assíntota oblíqua é .

Passo 5

Vamos achar alguns pontos importantes para esboçar o gráfico:
  • Interseção com o eixo y: É o valor de .
Então, o gráfico passa pelo ponto .
  • Comportamento para indo para infinito: Como temos uma assíntota oblíqua, para muito grande positivo ou negativo, o gráfico vai se aproximar da linha .

Passo 6

Resumo dos componentes da função:
  • Domínio:
  • Assíntotas verticais: e
  • Assíntota oblíqua:
  • Interseção com o eixo y:
  • Imagem: Como a função pode assumir todos os valores reais através de suas assíntotas e comportamento, a imagem é .

Resposta

Domínio:
Imagem:
Gráfico:
  • Assíntotas verticais em e .
  • Assíntota oblíqua em .
  • A função intercepta o eixo y no ponto .

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