Para as funções f(x) e g(x) abaixo, faça o gráfico das funções f e g entre os valores de x que satisfazem f(x) = g(x), indicando o ponto de máximo ou mínimo da função f, caso esteja no intervalo de interesse, e a imagem das duas no intervalo de interesse.
f(x) = x^2 - 2x + 1 e g(x) = x + 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para fazermos o gráfico das funções e no intervalo onde . A gente vai precisar entender como resolver equações, identificar pontos de interseção, e achar máximos ou mínimos de funções quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde as duas funções se igualam, ou seja, resolver . Isso significa que vamos igualar as expressões:

Passo 3

Agora, vamos colocar tudo em um lado da equação para facilitar a resolução:

Passo 4

Essa é uma equação quadrática da forma . Vamos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
Aqui, , , e . Calculando o discriminante:

Passo 5

Agora, aplicando Bhaskara:
Então, temos dois pontos de interseção:

Passo 6

Vamos determinar o intervalo onde . Os valores de que satisfazem essa igualdade são entre e .

Passo 7

Agora, vamos achar o ponto de máximo ou mínimo da função . Como é uma parábola com coeficiente de positivo, o gráfico tem um mínimo. O vértice ocorre em:
Calculando :
Então, o mínimo é em , que está dentro do intervalo de interesse.

Passo 8

Por fim, vamos identificar a imagem das funções no intervalo . Para , os valores vão do mínimo 0 até o valor em . Para , é uma reta que aumenta de até .

Resposta

O gráfico das funções e deve ser traçado no intervalo de entre aproximadamente e , onde elas se intersectam. A função apresenta um mínimo em , que está dentro desse intervalo. As imagens das funções no intervalo vão de até aproximadamente e de até . Assim, você pode desenhar as parábolas e as retas respeitando esses pontos e comportamentos.

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