Para as funções dadas abaixo, faça o gráfico, determiando suas assíntotas e os pontos onde a função cruza os eixos x e y :
f(x)=\frac{-1+x}{-1+3 x-2 x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função racional
f(x)=\frac{-1+x}{-1+3x-2x^{2}}
determinando (a) os pontos em que a curva cruza os eixos x e y, (b) as assíntotas (verticais, removíveis e horizontais) e enfim (c) a forma geral do gráfico. O conteúdo necessário envolve domínio de funções racionais, fatoração de polinômios, limites para achar assíntotas e análise de sinais para esboçar o gráfico.

Passo 2

Vamos primeiro identificar o domínio e os interceptos.
O domínio são todos os x tais que o denominador não zere, ou seja,
-1+3x-2x^{2}\neq0.
Para o intercepto em y, calculamos f(0):
f(0)=\frac{0-1}{-1+0-0}=\frac{-1}{-1}=1,
logo a curva passa em (0,1).
Para interceptos em x resolveríamos f(x)=0, isto é, numerador zero:
x-1=0\quad\Longrightarrow\quad x=1.
Porém verificaremos se este ponto está no domínio no próximo passo.

Passo 3

Fatoremos o denominador:
-1+3x-2x^{2} = -(2x^{2}-3x+1) = -(2x-1)(x-1).
Portanto
f(x) =\frac{x-1}{-\, (2x-1)(x-1)} =-\frac{1}{2x-1}, \quad x\neq1.
Dessa forma vemos que:
  • x=1 zera também o numerador e o denominador, logo é uma descontinuidade removível (buraco).
  • x=\tfrac12 zera o fator 2x-1 do denominador simplificado e gera uma assíntota vertical.

Passo 4

(a) Assíntota vertical:
x=\tfrac12.
(b) Descontinuidade removível (buraco) em x=1. O valor de f aproximado nesse ponto é
\lim_{x\to1}f(x) =\lim_{x\to1}\bigl(-\tfrac1{2x-1}\bigr) =-\frac1{2\cdot1-1}=-1.
Então há um buraco em \bigl(1,-1\bigr).
(c) Assíntota horizontal:
\lim_{x\to\pm\infty}f(x) =\lim_{x\to\pm\infty}\bigl(-\tfrac1{2x-1}\bigr)=0,
logo y=0.

Passo 5

Análise de sinais e limites para o esboço:
  • Para x<\tfrac12, 2x-1<0 f(x)=-1/(2x-1)>0.
    À medida que x\to\tfrac12^-, f(x)\to+\infty. E quando x\to-\infty, f(x)\to0^+.
  • Para x>\tfrac12, 2x-1>0 f(x)<0.
    À medida que x\to\tfrac12^+, f(x)\to-\infty. E quando x\to+\infty, f(x)\to0^-.
Não há cruzamento com o eixo x, pois a zero do numerador era x=1, ponto onde há buraco. Só há cruzamento com o eixo y em (0,1).
Com isso obtemos dois ramos de hipérbole deslocados, um acima do eixo x para x<\tfrac12 e outro abaixo para x>\tfrac12, com assíntotas x=\tfrac12 e y=0, e buraco em (1,-1).

Resposta

Intercepto em y: (0,1)
Não há intercepto em x (buraco em x=1).
Assíntota vertical: x=\tfrac12
Buraco removível: (1,-1)
Assíntota horizontal: y=0
Esboço: hipérbole com ramos em x<\tfrac12 acima do eixo e em x>\tfrac12 abaixo do eixo.

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