Para as funções dadas abaixo, faça o gráfico, determiando suas assíntotas e os pontos onde a função cruza os eixos
e
:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função racional
determinando (a) os pontos em que a curva cruza os eixos
e
, (b) as assíntotas (verticais, removíveis e horizontais) e enfim (c) a forma geral do gráfico. O conteúdo necessário envolve domínio de funções racionais, fatoração de polinômios, limites para achar assíntotas e análise de sinais para esboçar o gráfico.
Passo 2
Vamos primeiro identificar o domínio e os interceptos.
O domínio são todos os tais que o denominador não zere, ou seja,
O domínio são todos os
Para o intercepto em
, calculamos
:
logo a curva passa em
.
Para interceptos em
resolveríamos
, isto é, numerador zero:
Porém verificaremos se este ponto está no domínio no próximo passo.
Passo 3
Fatoremos o denominador:
Portanto
Dessa forma vemos que:
-
zera também o numerador e o denominador, logo é uma descontinuidade removível (buraco). -
zera o fator do denominador simplificado e gera uma assíntota vertical.
Passo 4
(a) Assíntota vertical:
(b) Descontinuidade removível (buraco) em
. O valor de
aproximado nesse ponto é
Então há um buraco em
.
(c) Assíntota horizontal:
logo
.
Passo 5
Análise de sinais e limites para o esboço:
- Para
, ⇒ .
À medida que, . E quando , . - Para
, ⇒ .
À medida que, . E quando , .
Não há cruzamento com o eixo
, pois a zero do numerador era
, ponto onde há buraco. Só há cruzamento com o eixo
em
.
Com isso obtemos dois ramos de hipérbole deslocados, um acima do eixo
para
e outro abaixo para
, com assíntotas
e
, e buraco em
.
Resposta
Intercepto em
:
Não há intercepto em (buraco em
).
Assíntota vertical:
Buraco removível:
Assíntota horizontal:
Esboço: hipérbole com ramos em acima do eixo e em
abaixo do eixo.
Não há intercepto em
Assíntota vertical:
Buraco removível:
Assíntota horizontal:
Esboço: hipérbole com ramos em