Regra da Cadeia: determine as derivadas das seguintes funções em relação ao seu argumento
f(x)=\log _{10}\left(\sqrt{x^{2}+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\log_{10}\bigl(\sqrt{x^{2}+1}\bigr)
em relação a x. Vamos usar a regra da cadeia três vezes: primeiro para a função logarítmica de base 10, depois para a raiz quadrada e, por fim, para a função interna x^{2}+1.

Passo 2

Defina
g(x)=\sqrt{x^{2}+1}=(x^{2}+1)^{\tfrac12}.
Então
f(x)=\log_{10}\bigl(g(x)\bigr)
e, pela derivada do logaritmo de base 10, temos
f'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)\,\ln 10}.
Agora calcule g'(x) usando a regra da cadeia em (x^{2}+1)^{1/2}:
g'(x) =\frac12\,(x^{2}+1)^{-\tfrac12}\cdot 2x =\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}.

Passo 3

Substituindo g(x) e g'(x) em f'(x), obtemos
f'(x) =\frac{\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}}{\sqrt{x^{2}+1}\,\ln 10} =\frac{x}{\bigl(\sqrt{x^{2}+1}\bigr)^{2}\,\ln 10} =\frac{x}{(x^{2}+1)\,\ln 10}.

Resposta

f'(x)=\frac{x}{(x^{2}+1)\,\ln 10}.

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