Para as funções dadas, determine (f ext o g)(x) e (g ext o f)(x).
f(x)=(2 x+x^2)^4, g(x)=cos ^2 x

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x) = l(2x + x^2r)^4, g(x) = cos^2 x
e pede as composições (fcirc g)(x) e (gcirc f)(x).
Para isso, basta lembrar que
(fcirc g)(x) = fl(g(x)r), (gcirc f)(x) = gl(f(x)r),
e fazer a substituição adequada em cada caso.

Passo 2

Vamos achar (fcirc g)(x).
Substituindo g(x)=cos^2 x em f(z)=(2z+z^2)^4 (onde z=g(x)), temos
(fcirc g)(x) = l(2,g(x) + [g(x)]^2r)^4 = l(2cos^2 x + cos^4 xr)^4
Se quisermos, podemos ainda fatorar cos^2 x:
2cos^2 x + cos^4 x = cos^2 x,(2 + cos^2 x) Longrightarrow (fcirc g)(x) = l[cos^2 x,(2 + cos^2 x)r]^4 = cos^8 x,(2 + cos^2 x)^4

Passo 3

Agora (gcirc f)(x).
Aqui g(y)=cos^2 y e y=f(x)=(2x+x^2)^4. Logo
(gcirc f)(x) = cos^2l(f(x)r) = cos^2!l((2x + x^2)^4r)

Resposta

(fcirc g)(x) = l(2cos^2 x + cos^4 xr)^4 ou cos^8 x,(2 + cos^2 x)^4,
(gcirc f)(x) = cos^2!l((2x + x^2)^4r)

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