Para as funções dadas, determine os intervalos onde a função é crescente ou decrescente, use o teste da primeira derivada para encontrar os extremos relativos e faça um esboço do gráfico.
Passo 1
O enunciado dá a função
e quer que a gente determine onde ela é crescente ou decrescente pelo teste da primeira derivada, identifique extremos relativos e, por fim, faça um esboço do gráfico. O conteúdo envolvido é derivação, análise de sinais da derivada e interpretação da forma geral de um polinômio de grau três.
Passo 2
Primeiro, calculamos a derivada primeira de
:
Passo 3
Para encontrar possíveis pontos críticos, resolvemos
O discriminante é
logo não há raízes reais. Isso significa que
não se anula em nenhum ponto real.
Passo 4
Como o coeficiente de
em
é positivo e o discriminante é negativo, temos
para todo
. Portanto:
- A função é crescente em .
- Não há intervalos de decrescimento.
- Como não há pontos onde muda de sinal, não existem extremos relativos.
- A função é crescente em
- Não há intervalos de decrescimento.
- Como não há pontos onde
Passo 5
Para esboçar o gráfico, observamos:
- Comportamento nas bordas:
e . - Intercepto com o eixo
: , então passa em . - Ponto de inflexão: resolvemos
, obtendo . Em , , logo há inflexão em . - Curvatura: para
, (côncava para baixo); para , (côncava para cima).
Com isso, o esboço é o de uma cúbica monótona que atravessa a origem, fica levemente “curvada para baixo” até
, inflete em
e segue “curvada para cima” subindo para
.
Resposta
A função
é crescente em
, não há intervalos de decrescimento nem extremos relativos. O gráfico é uma cúbica monótona, com inflexão em
e intercepto em
.