Para as funções dadas, determine os intervalos onde a função é crescente ou decrescente, use o teste da primeira derivada para encontrar os extremos relativos e faça um esboço do gráfico.
f(x)=x^{3}-3 x^{2}+9 x

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{3}-3x^{2}+9x
e quer que a gente determine onde ela é crescente ou decrescente pelo teste da primeira derivada, identifique extremos relativos e, por fim, faça um esboço do gráfico. O conteúdo envolvido é derivação, análise de sinais da derivada e interpretação da forma geral de um polinômio de grau três.

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada primeira de f:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}-3x^{2}+9x\bigr)=3x^{2}-6x+9.

Passo 3

Para encontrar possíveis pontos críticos, resolvemos
f'(x)=0 \quad\Longrightarrow\quad 3x^{2}-6x+9=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-2x+3=0.
O discriminante é
\Delta =(-2)^{2}-4\cdot1\cdot3=4-12=-8<0,
logo não há raízes reais. Isso significa que f'(x) não se anula em nenhum ponto real.

Passo 4

Como o coeficiente de x^{2} em f' é positivo e o discriminante é negativo, temos f'(x)>0 para todo x\in\mathbb{R}. Portanto:
- A função é crescente em (-\infty,\infty).
- Não há intervalos de decrescimento.
- Como não há pontos onde f' muda de sinal, não existem extremos relativos.

Passo 5

Para esboçar o gráfico, observamos:
  1. Comportamento nas bordas:
    \displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty e \displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.
  2. Intercepto com o eixo y: f(0)=0, então passa em (0,0).
  3. Ponto de inflexão: resolvemos f''(x)=6x-6=0, obtendo x=1. Em x=1, f(1)=1-3+9=7, logo há inflexão em (1,7).
  4. Curvatura: para x<1, f''(x)<0 (côncava para baixo); para x>1, f''(x)>0 (côncava para cima).
Com isso, o esboço é o de uma cúbica monótona que atravessa a origem, fica levemente “curvada para baixo” até x=1, inflete em (1,7) e segue “curvada para cima” subindo para +\infty.

Resposta

A função f(x)=x^{3}-3x^{2}+9x é crescente em (-\infty,\infty), não há intervalos de decrescimento nem extremos relativos. O gráfico é uma cúbica monótona, com inflexão em (1,7) e intercepto em (0,0).

Exercícios relacionados