Verifique que a função dada satisfaz as hipóteses do Teorema especificado e encontre o valor de c que satisfaz a conclusão do teorema.
f(t)=\sqrt{1-\operatorname{Sen}(t)}, no intervalo \left[0, \frac{\pi}{2}\right], Teorema do Valor Médio

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função
f(t)=\sqrt{1-\sin(t)}
no intervalo \left[0,\frac{\pi}{2}\right] e precisamos aplicar o Teorema do Valor Médio (TVM). Para isso devemos verificar as hipóteses de continuidade em \left[0,\frac{\pi}{2}\right] e de diferenciabilidade em \left(0,\frac{\pi}{2}\right), depois encontrar c\in\bigl(0,\tfrac{\pi}{2}\bigr) tal que
f'\text{(c)}=\frac{f\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)-f(0)}{\tfrac{\pi}{2}-0}.

Passo 2

Verificação das hipóteses do TVM:
  1. Em \bigl[0,\tfrac{\pi}{2}\bigr] temos 1-\sin(t)\ge0, logo a raiz quadrada é contínua. Assim f é contínua em \bigl[0,\tfrac{\pi}{2}\bigr].
  2. Em \bigl(0,\tfrac{\pi}{2}\bigr) temos 0<\sin(t)<1, então 1-\sin(t)>0 e a derivada existe (denominador não zera). Logo f é diferenciável em \bigl(0,\tfrac{\pi}{2}\bigr).

Passo 3

Cálculo do coeficiente de variação média:
f(0)=\sqrt{1-\sin(0)}=\sqrt{1}=1, \qquad f\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr)=\sqrt{1-\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)}=\sqrt{0}=0.
Logo a razão de crescimento médio é
\frac{f\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)-f(0)}{\tfrac{\pi}{2}-0} =\frac{0-1}{\tfrac{\pi}{2}} =-\frac{2}{\pi}.

Passo 4

Cálculo da derivada f'(t):
f(t)=\bigl(1-\sin t\bigr)^{1/2} \quad\Longrightarrow\quad f'(t)=\frac{1}{2}(1-\sin t)^{-1/2}\cdot(-\cos t) =-\frac{\cos t}{2\sqrt{1-\sin t}}.

Passo 5

Aplicação da conclusão do TVM: existe c\in\bigl(0,\tfrac{\pi}{2}\bigr) tal que
f'\text{(c)} =-\frac{\cos c}{2\sqrt{1-\sin c}} \;=\; -\frac{2}{\pi}.
Eliminando o sinal negativo, obtemos
\frac{\cos c}{2\sqrt{1-\sin c}} =\frac{2}{\pi}.

Passo 6

Resolvendo em termos de x=\sin c, com 0<x<1:
\cos c=2\,\frac{2}{\pi}\,\sqrt{1-x} =\frac{4}{\pi}\sqrt{1-x}.
Elevando ao quadrado e usando \cos^2c=1-\sin^2c=1-x^2, dá
1-x^2 =\Bigl(\frac{4}{\pi}\Bigr)^{2}(1-x) =\frac{16}{\pi^2}(1-x).
Multiplicando por \pi^2 e reorganizando, chega-se a
\pi^2 x^2-16x-(\pi^2-16)=0.

Passo 7

Resolução da equação quadrática em x:
x=\frac{16\pm\sqrt{256+4\pi^2(\pi^2-16)}}{2\pi^2} =\frac{8\pm\sqrt{\pi^4-16\pi^2+64}}{\pi^2} =\frac{8\pm(\pi^2-8)}{\pi^2}.
Isso gera duas soluções:
x_1=1, \qquad x_2=\frac{16-\pi^2}{\pi^2}=\frac{16}{\pi^2}-1.
Como \sin c deve estar em (0,1), tomamos
\sin c =\frac{16}{\pi^2}-1.

Passo 8

Conclusão:
c=\arcsin\!\Bigl(\frac{16}{\pi^2}-1\Bigr),
que está estritamente em \bigl(0,\tfrac{\pi}{2}\bigr) e satisfaz a igualdade do Teorema do Valor Médio.

Resposta

c=\arcsin\!\Bigl(\tfrac{16}{\pi^2}-1\Bigr).

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