Verifique que a função dada satisfaz as hipóteses do Teorema especificado e encontre o valor de
que satisfaz a conclusão do teorema.
, no intervalo
, Teorema do Valor Médio
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a função
no intervalo
e precisamos aplicar o Teorema do Valor Médio (TVM). Para isso devemos verificar as hipóteses de continuidade em
e de diferenciabilidade em
, depois encontrar
tal que
Passo 2
Verificação das hipóteses do TVM:
- Em
temos , logo a raiz quadrada é contínua. Assim é contínua em . - Em
temos , então e a derivada existe (denominador não zera). Logo é diferenciável em .
Passo 3
Cálculo do coeficiente de variação média:
Logo a razão de crescimento médio é
Passo 4
Cálculo da derivada
:
Passo 5
Aplicação da conclusão do TVM: existe
tal que
Eliminando o sinal negativo, obtemos
Passo 6
Resolvendo em termos de
, com
:
Elevando ao quadrado e usando
, dá
Multiplicando por
e reorganizando, chega-se a
Passo 7
Resolução da equação quadrática em
:
Isso gera duas soluções:
Como
deve estar em
, tomamos
Passo 8
Conclusão:
que está estritamente em
e satisfaz a igualdade do Teorema do Valor Médio.