Para as funções dadas, determine os pontos de inflexão, os intervalos onde a função é côncava para cima ou côncava para baixo, use o teste da segunda derivada para encontrar os extremos relativos e faça um esboço do gráfico.
f(x)=x^{4}-8 x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x)=x^{4}-8x^{2}
que a gente encontre
  1. os pontos de inflexão,
  2. os intervalos onde f é côncava para cima e para baixo,
  3. os extremos relativos usando o teste da segunda derivada, e
  4. um esboço qualitativo do gráfico.
    Para isso, vamos precisar calcular f'(x), f''(x), achar seus zeros e estudar o sinal dessas derivadas.

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada primeira para achar os pontos críticos:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}-8x^{2}\bigr) =4x^{3}-16x =4x\,(x^{2}-4).
Os pontos críticos são as soluções de f'(x)=0, ou seja
4x\,(x^{2}-4)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0,\quad x^{2}=4\;\Rightarrow\;x=\pm2.

Passo 3

Agora a segunda derivada:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(4x^{3}-16x\bigr) =12x^{2}-16.
Usamos f'' nos pontos críticos para classificar:
  • Em x=0:
f''(0)=12\cdot0^{2}-16=-16<0,
logo f tem máximo local em x=0.
  • Em x=2 e x=-2:
f''(\pm2)=12\cdot(2)^{2}-16=48-16=32>0,
logo esses são mínimos locais.
Os valores da função nesses pontos são
f(0)=0,\quad f(\pm2)=(\pm2)^{4}-8(\pm2)^{2}=16-32=-16.

Passo 4

Para achar concavidade e pontos de inflexão, resolvemos f''(x)=0:
12x^{2}-16=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=\tfrac{16}{12}=\tfrac{4}{3} \quad\Longrightarrow\quad x=\pm\frac{2}{\sqrt{3}}.
  • f''(x)>0 (côncava para cima) quando \,x^{2}>\tfrac{4}{3}, isto é \,|x|>\tfrac{2}{\sqrt{3}}.
  • f''(x)<0 (côncava para baixo) quando \,|x|<\tfrac{2}{\sqrt{3}}.
Os pontos de inflexão são
\Bigl(\pm\frac{2}{\sqrt{3}},\,f\bigl(\pm\frac{2}{\sqrt{3}}\bigr)\Bigr),
e
f\Bigl(\frac{2}{\sqrt{3}}\Bigr) =\Bigl(\tfrac{2}{\sqrt{3}}\Bigr)^{4} -8\Bigl(\tfrac{2}{\sqrt{3}}\Bigr)^{2} =\tfrac{16}{9}-8\cdot\tfrac{4}{3} =\tfrac{16}{9}-\tfrac{32}{3} =-\tfrac{80}{9}.

Passo 5

Para esboçar, observamos ainda que f é função par (simétrica em relação ao eixo y), cruza o eixo x em x=0 e em x=\pm\sqrt{8}= \pm2\sqrt{2} pois
x^{4}-8x^{2}=0\;\Longrightarrow\;x^{2}(x^{2}-8)=0.
Juntando tudo:
  • máximo local em (0,0),
  • mínimos locais em (\pm2,-16),
  • pontos de inflexão em \bigl(\pm\tfrac{2}{\sqrt{3}},-\tfrac{80}{9}\bigr),
  • concavidade para baixo no trecho \bigl(-\tfrac{2}{\sqrt{3}},\tfrac{2}{\sqrt{3}}\bigr),
  • concavidade para cima para |x|>\tfrac{2}{\sqrt{3}},
  • interceptos em x=0 e x=\pm2\sqrt{2}.
Com isso dá para desenhar uma curva em “W” achatado, de grau 4, com vértices nestes pontos.

Resposta

Pontos de inflexão: \displaystyle \Bigl(\pm\tfrac{2}{\sqrt{3}},\,-\tfrac{80}{9}\Bigr).
Intervalos de concavidade:
  • côncava para cima em \,(-\infty,-\tfrac{2}{\sqrt{3}})\cup(\tfrac{2}{\sqrt{3}},\infty),
  • côncava para baixo em (-\tfrac{2}{\sqrt{3}},\tfrac{2}{\sqrt{3}}).
Extremos relativos (teste da segunda derivada):
  • máximo local em (0,0),
  • mínimos locais em (2,-16) e (-2,-16).
Esboço: curva par em “W”, cruza o eixo x em x=0 e x=\pm2\sqrt{2}, com forma compatível aos pontos acima.

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