Para as funções dadas, determine os pontos de inflexão, os intervalos onde a função é côncava para cima ou côncava para baixo, use o teste da segunda derivada para encontrar os extremos relativos e faça um esboço do gráfico.
Passo 1
O enunciado pede para a função
que a gente encontre
- os pontos de inflexão,
- os intervalos onde
é côncava para cima e para baixo, - os extremos relativos usando o teste da segunda derivada, e
- um esboço qualitativo do gráfico.
Para isso, vamos precisar calcular, , achar seus zeros e estudar o sinal dessas derivadas.
Passo 2
Primeiro, calculamos a derivada primeira para achar os pontos críticos:
Os pontos críticos são as soluções de
, ou seja
Passo 3
Agora a segunda derivada:
Usamos
nos pontos críticos para classificar:
- Em
:
logo
tem máximo local em
.
- Em
e :
logo esses são mínimos locais.
Os valores da função nesses pontos são
Passo 4
Para achar concavidade e pontos de inflexão, resolvemos
:
-
(côncava para cima) quando , isto é . -
(côncava para baixo) quando .
Os pontos de inflexão são
e
Passo 5
Para esboçar, observamos ainda que
é função par (simétrica em relação ao eixo
), cruza o eixo
em
e em
pois
Juntando tudo:
- máximo local em
, - mínimos locais em
, - pontos de inflexão em
, - concavidade para baixo no trecho
, - concavidade para cima para
, - interceptos em
e .
Com isso dá para desenhar uma curva em “W” achatado, de grau 4, com vértices nestes pontos.
Resposta
Pontos de inflexão:
.
Intervalos de concavidade:
- côncava para cima em
, - côncava para baixo em
.
Extremos relativos (teste da segunda derivada):
- máximo local em
, - mínimos locais em
e .
Esboço: curva par em “W”, cruza o eixo
em
e
, com forma compatível aos pontos acima.