Para as funções dadas, determine os pontos de inflexão, os intervalos onde a função é côncava para cima ou côncava para baixo, use o teste da segunda derivada para encontrar os extremos relativos e faça um esboço do gráfico.
f(x)=-x^{4}+6 x^{2}-4

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=-x^{4}+6x^{2}-4
e pede: pontos de inflexão, intervalos de concavidade para cima/baixo, extremos relativos via teste da segunda derivada e esboço do gráfico. O conteúdo é análise de concavidade e aplicação do teste da segunda derivada para classificar extremos.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas de primeira e segunda ordem:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-x^{4}+6x^{2}-4\bigr)=-4x^{3}+12x=-4x(x^{2}-3),
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-4x^{3}+12x\bigr)=-12x^{2}+12=12(1-x^{2}).
Para achar os candidatos a extremos, resolvemos f'(x)=0. Para achar potenciais pontos de inflexão, resolvemos f''(x)=0.

Passo 3

Resolvendo as equações:
f'(x)=0\;\Longrightarrow\;-4x(x^{2}-3)=0\;\Longrightarrow\;x=0,\;\pm\sqrt{3}.
f''(x)=0\;\Longrightarrow\;12(1-x^{2})=0\;\Longrightarrow\;x=\pm1.
Agora estudamos o sinal de f''(x):
  • Se \lvert x\rvert<1, então 1-x^{2}>0 e f''(x)>0, ou seja, concavidade para cima.
  • Se \lvert x\rvert>1, então 1-x^{2}<0 e f''(x)<0, ou seja, concavidade para baixo.
    Os pontos de inflexão ocorrem em x=\pm1. Em cada um, o valor de f é
f(\pm1)=-1+6-4=1.

Passo 4

Classificamos os extremos usando o sinal de f'' nos pontos críticos:
  • Em x=0: f''(0)=12>0, logo mínimo relativo. O valor é f(0)=-4.
  • Em x=\pm\sqrt{3}: f''(\pm\sqrt{3})=12(1-3)=-24<0, logo máximo relativo. O valor é
f(\pm\sqrt{3})=-(\sqrt{3})^{4}+6(\sqrt{3})^{2}-4=-9+18-4=5.

Passo 5

Esboço do gráfico (função par, simétrica em y-eixo):
  • Cresce de -\infty até x=-\sqrt{3}, atinge máximo em \bigl(-\sqrt{3},5\bigr), desce até x=-1 (infleção em (-1,1)), continua descendo até mínimo em (0,-4).
  • Depois inverte o padrão simetricamente: inflexão em (1,1), sobe até x=\sqrt{3} (máximo em (\sqrt{3},5)) e cai para -\infty.
    Em \lvert x\rvert<1 a curva é côncava para cima; em \lvert x\rvert>1 é côncava para baixo.

Resposta

Pontos de inflexão: \bigl(-1,1\bigr) e \bigl(1,1\bigr).
Concavidade para cima em (-1,1) e para baixo em (-\infty,-1)\cup(1,\infty).
Extremos relativos: mínimo em \bigl(0,-4\bigr), máximos em \bigl(\pm\sqrt{3},5\bigr).
Esboço: curva simétrica, sobe até máximos em \pm\sqrt{3}, desce passando por inflexões em \pm1, atinge mínimo em 0, depois repete simetricamente.

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