Para as funções dadas, determine os pontos de inflexão, os intervalos onde a função é côncava para cima ou côncava para baixo, use o teste da segunda derivada para encontrar os extremos relativos e faça um esboço do gráfico.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: pontos de inflexão, intervalos de concavidade para cima/baixo, extremos relativos via teste da segunda derivada e esboço do gráfico. O conteúdo é análise de concavidade e aplicação do teste da segunda derivada para classificar extremos.
Passo 2
Primeiro calculamos as derivadas de primeira e segunda ordem:
Para achar os candidatos a extremos, resolvemos
. Para achar potenciais pontos de inflexão, resolvemos
.
Passo 3
Resolvendo as equações:
Agora estudamos o sinal de
:
- Se
, então e , ou seja, concavidade para cima. - Se
, então e , ou seja, concavidade para baixo.
Os pontos de inflexão ocorrem em. Em cada um, o valor de é
Passo 4
Classificamos os extremos usando o sinal de
nos pontos críticos:
- Em
: , logo mínimo relativo. O valor é . - Em
: , logo máximo relativo. O valor é
Passo 5
Esboço do gráfico (função par, simétrica em
-eixo):
- Cresce de
até , atinge máximo em , desce até (infleção em ), continua descendo até mínimo em . - Depois inverte o padrão simetricamente: inflexão em
, sobe até (máximo em ) e cai para .
Ema curva é côncava para cima; em é côncava para baixo.
Resposta
Pontos de inflexão:
e
.
Concavidade para cima em e para baixo em
.
Extremos relativos: mínimo em , máximos em
.
Esboço: curva simétrica, sobe até máximos em , desce passando por inflexões em
, atinge mínimo em
, depois repete simetricamente.
Concavidade para cima em
Extremos relativos: mínimo em
Esboço: curva simétrica, sobe até máximos em