As funções dadas são diferenciáveis? Justifique oportunamente.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se a função
é diferenciável. Isso envolve entender sobre derivadas parciais e continuidade, então vamos usar esses conceitos pra resolver.
Passo 2
Primeiro, lembrar o que significa uma função ser diferenciável. Em duas variáveis, uma função é diferenciável em um ponto se todas as suas derivadas parciais existem e são contínuas naquele ponto. Então, vamos achar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Usando a regra da cadeia:
De maneira similar, a derivada parcial em relação a
é:
Passo 4
Agora, precisamos verificar se essas derivadas parciais são contínuas em todos os pontos. Observe que a função
é contínua em
e a função cosseno também é contínua. Além disso, as frações
e
são contínuas para todo ponto diferente de
.
Passo 5
No ponto
, vamos analisar os limites das derivadas parciais. Conforme
se aproxima de
,
tende a 0, e
. As frações
e
tendem a undefined, mas multiplicadas por zero (pois
está no denominador), o resultado final das derivadas parciais tende a zero, mantendo a continuidade.
Resposta
Então, juntando tudo, a função
é diferenciável em todo o plano
, já que todas as suas derivadas parciais existem e são contínuas em todos os pontos.