As funções dadas são diferenciáveis? Justifique oportunamente.
e) f(x, y) = sen(raiz(x^2 + y^2))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se a função é diferenciável. Isso envolve entender sobre derivadas parciais e continuidade, então vamos usar esses conceitos pra resolver.

Passo 2

Primeiro, lembrar o que significa uma função ser diferenciável. Em duas variáveis, uma função é diferenciável em um ponto se todas as suas derivadas parciais existem e são contínuas naquele ponto. Então, vamos achar as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Usando a regra da cadeia:
De maneira similar, a derivada parcial em relação a é:

Passo 4

Agora, precisamos verificar se essas derivadas parciais são contínuas em todos os pontos. Observe que a função é contínua em e a função cosseno também é contínua. Além disso, as frações e são contínuas para todo ponto diferente de .

Passo 5

No ponto , vamos analisar os limites das derivadas parciais. Conforme se aproxima de , tende a 0, e . As frações e tendem a undefined, mas multiplicadas por zero (pois está no denominador), o resultado final das derivadas parciais tende a zero, mantendo a continuidade.

Resposta

Então, juntando tudo, a função é diferenciável em todo o plano , já que todas as suas derivadas parciais existem e são contínuas em todos os pontos.

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