Encontre o domínio (o maior possível) e a imagem, o conjunto de zeros, os intervalos de positividade e negatividade, e esboçe o gráfico: f(x) = -2 x^2 - 2 x + 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente analisar a função quadrática . Vamos precisar entender vários conceitos de matemática, como domínio, imagem (ou conjunto de valores), zeros da função, intervalos onde a função é positiva ou negativa e, claro, desenhar o gráfico dessa função. Vamos por partes para deixar tudo bem claro!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. No caso de funções polinomiais, como a nossa , o domínio é todo o conjunto dos números reais, porque podemos substituir qualquer número real em e obter um resultado válido.
Então, o domínio é:

Passo 3

Agora, vamos determinar o conjunto de zeros da função. Os zeros da função são os valores de que fazem com que . Para encontrá-los, resolvemos a equação:
Podemos simplificar dividindo toda a equação por -2:
Agora, vamos resolver essa equação do segundo grau usando a fórmula de Bhaskara. A fórmula é:
onde , e .
Calculando o discriminante ( ):
Como , temos duas raízes reais:
Portanto:
Então, os zeros da função são e .

Passo 4

Vamos encontrar a imagem da função, ou seja, o conjunto de todos os possíveis valores de . Como nossa função é uma parábola com coeficiente de negativo ( ), ela abre para baixo. O ponto mais alto dessa parábola será o seu vértice, que nos dá o valor máximo da função.
A coordenada do vértice é dada por:
Agora, substituímos na função para encontrar :
Portanto, o máximo da função é 2.5. Como a parábola abre para baixo, a imagem é:

Passo 5

Vamos determinar os intervalos de positividade e negatividade da função. Isso significa identificar para quais valores de a função é positiva (acima do eixo ) e para quais é negativa (abaixo do eixo ).
Sabemos que os zeros da função são e . Esses pontos dividem a reta real em três intervalos:
Vamos testar cada intervalo substituindo um valor de na função:
  1. Para , por exemplo :
Como , a função é negativa nesse intervalo.
  1. Para , por exemplo :
Como , a função é positiva nesse intervalo.
  1. Para , por exemplo :
Como , a função é negativa nesse intervalo.
Então, resumindo:
  • para e
  • para

Passo 6

Por fim, vamos esboçar o gráfico da função . Sabemos que é uma parábola que abre para baixo devido ao coeficiente negativo de .
Vamos plotar os pontos importantes que encontramos:
  • Vértice:
  • Zeros: e
Com esses pontos e sabendo que a parábola é simétrica em relação ao eixo de simetria , podemos desenhar o gráfico aproximado:
  1. Marque os zeros e no eixo .
  2. Marque o vértice .
  3. Desenhe a parábola que passa por esses pontos, abrindo para baixo.

Resposta

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