Encontre o domínio (o maior possível) e a imagem, o conjunto de zeros, os intervalos de positividade e negatividade, e esboçe o gráfico:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente analisar a função quadrática
. Vamos precisar entender vários conceitos de matemática, como domínio, imagem (ou conjunto de valores), zeros da função, intervalos onde a função é positiva ou negativa e, claro, desenhar o gráfico dessa função. Vamos por partes para deixar tudo bem claro!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. No caso de funções polinomiais, como a nossa
, o domínio é todo o conjunto dos números reais, porque podemos substituir qualquer número real em
e obter um resultado válido.
Então, o domínio é:
Passo 3
Agora, vamos determinar o conjunto de zeros da função. Os zeros da função são os valores de
que fazem com que
. Para encontrá-los, resolvemos a equação:
Podemos simplificar dividindo toda a equação por -2:
Agora, vamos resolver essa equação do segundo grau usando a fórmula de Bhaskara. A fórmula é:
onde
,
e
.
Calculando o discriminante (
):
Como
, temos duas raízes reais:
Portanto:
Então, os zeros da função são
e
.
Passo 4
Vamos encontrar a imagem da função, ou seja, o conjunto de todos os possíveis valores de
. Como nossa função é uma parábola com coeficiente de
negativo (
), ela abre para baixo. O ponto mais alto dessa parábola será o seu vértice, que nos dá o valor máximo da função.
A coordenada
do vértice é dada por:
Agora, substituímos
na função para encontrar
:
Portanto, o máximo da função é 2.5. Como a parábola abre para baixo, a imagem é:
Passo 5
Vamos determinar os intervalos de positividade e negatividade da função. Isso significa identificar para quais valores de
a função
é positiva (acima do eixo
) e para quais é negativa (abaixo do eixo
).
Sabemos que os zeros da função são
e
. Esses pontos dividem a reta real em três intervalos:
Vamos testar cada intervalo substituindo um valor de
na função:
- Para
, por exemplo :
Como
, a função é negativa nesse intervalo.
- Para
, por exemplo :
Como
, a função é positiva nesse intervalo.
- Para
, por exemplo :
Como
, a função é negativa nesse intervalo.
Então, resumindo:
-
para e -
para
Passo 6
Por fim, vamos esboçar o gráfico da função
. Sabemos que é uma parábola que abre para baixo devido ao coeficiente negativo de
.
Vamos plotar os pontos importantes que encontramos:
- Vértice:
- Zeros:
e
Com esses pontos e sabendo que a parábola é simétrica em relação ao eixo de simetria
, podemos desenhar o gráfico aproximado:
- Marque os zeros
e no eixo . - Marque o vértice
. - Desenhe a parábola que passa por esses pontos, abrindo para baixo.