(!!) Considere a função:
f(x, y) = (x^3 - y^3 + x*y*(x + y)) / (x^2 + y^2) se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0 se (x, y) = (0, 0)
c) Calcule a diferencial de f no ponto p = (1, 1) (se existir).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre cálculo diferencial! A gente tem uma função definida de forma diferente quando não é e quando é . A parte c) do exercício pede para calcular a diferencial de no ponto , se ela existir. Para isso, vamos precisar entender o que é diferencial e como calcular as derivadas parciais da função nessa coordenada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a diferencial de uma função de duas variáveis, , no ponto é dada por:
onde e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente. Então, para achar a diferencial no ponto , precisamos calcular e .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a no ponto . A função para é:
Primeiro, vamos simplificar a expressão do numerador:
Agora, para encontrar , derivamos em relação a usando a regra do quociente:
Vamos avaliar isso no ponto .

Passo 4

Substituindo e na expressão de :
Simplificando dentro dos parênteses:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a no ponto . Usando a mesma função e seguindo um processo semelhante:
Avaliando em :
Simplificando:

Resposta

A diferencial de no ponto é:

Exercícios relacionados