(!!) Considere a função:
c) Calcule a diferencial de f no ponto
(se existir).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre cálculo diferencial! A gente tem uma função
definida de forma diferente quando
não é
e quando é
. A parte c) do exercício pede para calcular a diferencial de
no ponto
, se ela existir. Para isso, vamos precisar entender o que é diferencial e como calcular as derivadas parciais da função nessa coordenada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a diferencial de uma função de duas variáveis,
, no ponto
é dada por:
onde
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente. Então, para achar a diferencial no ponto
, precisamos calcular
e
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
no ponto
. A função para
é:
Primeiro, vamos simplificar a expressão do numerador:
Agora, para encontrar
, derivamos
em relação a
usando a regra do quociente:
Vamos avaliar isso no ponto
.
Passo 4
Substituindo
e
na expressão de
:
Simplificando dentro dos parênteses:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
no ponto
. Usando a mesma função e seguindo um processo semelhante:
Avaliando em
:
Simplificando:
Resposta
A diferencial de
no ponto
é: