Para as funções dadas a seguir, encontre as funções (f \circ g)(x)=f(g(x)) e (g \circ f)=g(f(x)) e o domínio de cada uma delas.
f(x)=x^{2}-1 e g(x)=\frac{1}{x-1}.

Passo 1

O enunciado dá duas funções e pede duas composições e os domínios delas. As informações fornecidas são:
  • f(x)=x^{2}-1.
  • g(x)=\dfrac{1}{x-1}.
As perguntas que vamos responder:
  1. Encontrar (f\circ g)(x)=f(g(x)) e o domínio de (f\circ g).
  2. Encontrar (g\circ f)(x)=g(f(x)) e o domínio de (g\circ f).

Passo 2

O que é composição de funções e como cuidar do domínio (explicação didática):
  • Composição: (f\circ g)(x) significa primeiro calcular g(x) e depois aplicar f ao resultado; por definição
(f\circ g)(x)=f(g(x)).
  • Regra do domínio para (f\circ g): um número x pertence ao domínio de (f\circ g) se e somente se:
    1. x pertence ao domínio de g (ou seja, g(x) é definido); e
    2. g(x) pertence ao domínio de f (ou seja, ao aplicar g obtemos um valor no domínio de f).
  • De forma análoga, (g\circ f)(x)=g(f(x)) e o domínio exige que x esteja no domínio de f e que f(x) esteja no domínio de g.
Observações práticas úteis para prova:
  • Para polinômios (como f) o domínio é todo \mathbb{R}.
  • Para uma função racional \dfrac{1}{\text{algo}}, deve-se excluir valores que anulem o denominador.
  • Ao simplificar uma expressão algébrica, cuidado: mesmo que uma simplificação cancele fatores, o domínio original (valores excluídos por zeros de denominador antes da simplificação) continua excluído — a exclusão não “volta” automaticamente.

Passo 3

Calcular (f\circ g)(x)=f(g(x)) passo a passo.
  1. Primeiro escrever g(x):
g(x)=\dfrac{1}{x-1}.
  1. Substituir g(x) na expressão de f, que é f(t)=t^{2}-1 aplicada a t=g(x):
(f\circ g)(x)=\left(\dfrac{1}{x-1}\right)^{2}-1.
  1. Desenvolver a expressão para ficar num único quociente (opção útil para ver domínio e simplificar):
\left(\dfrac{1}{x-1}\right)^{2}-1=\dfrac{1}{(x-1)^{2}}-1.
Agora colocar em denominador comum (x-1)^{2}:
\frac{1}{(x-1)^{2}}-1=\frac{1-(x-1)^{2}}{(x-1)^{2}}.
  1. Expandir o numerador para simplificar:
1-(x-1)^{2}=1-(x^{2}-2x+1)=-x^{2}+2x.
  1. Logo uma forma simplificada é
(f\circ g)(x)=\frac{-x^{2}+2x}{(x-1)^{2} }=\frac{2x-x^{2}}{(x-1)^{2}}.
Também se pode escrever \dfrac{-x(x-2)}{(x-1)^{2}}.
  1. Determinar o domínio de (f\circ g):
  • Primeiro, g(x)=\dfrac{1}{x-1} exige x-1\neq 0, ou seja x\neq 1.
  • O polinômio f aceita qualquer real como entrada, então a única restrição vem de g.
  • Verificar se alguma simplificação removeu a restrição x\neq 1: não houve cancelamento de fator (x-1) (o denominador é (x-1)^{2} e o numerador não tem esse fator), portanto a restrição x\neq 1 permanece.
Conclusão do passo: a expressão e o domínio de (f\circ g) são os encontrados acima.

Passo 4

Calcular (g\circ f)(x)=g(f(x)) passo a passo.
  1. Primeiro escrever f(x):
f(x)=x^{2}-1.
  1. Substituir f(x) na expressão de g(t)=\dfrac{1}{t-1} com t=f(x):
(g\circ f)(x)=\dfrac{1}{f(x)-1}=\dfrac{1}{(x^{2}-1)-1}.
  1. Simplificar o denominador:
(x^{2}-1)-1=x^{2}-2,
portanto
(g\circ f)(x)=\dfrac{1}{x^{2}-2}.
  1. Determinar o domínio de (g\circ f):
  • f(x) é definido para todo x\in\mathbb{R}.
  • g(t)=\dfrac{1}{t-1} exige que t\neq 1; aqui t=f(x), então devemos ter f(x)\neq 1.
  • Resolver f(x)=1 para ver quais x são proibidos:
x^{2}-1=1 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=2 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm\sqrt{2}.
  • Conferindo com a expressão \dfrac{1}{x^{2}-2}: o denominador anula para x^{2}-2=0, ou seja x=\pm\sqrt{2}. Então devemos excluir esses dois valores.
  • Portanto o domínio de (g\circ f) é todos os reais exceto x=\pm\sqrt{2}.

Passo 5

Resumo final e dicas rápidas (ânimo e lembrete prático):
  • Para composições, sempre verificar primeiro domínio da função interna (aquela aplicada diretamente em x) e depois se o resultado cai em pontos proibidos da função externa.
  • Se der para escrever a expressão de maneira simples (como fizemos), ótimo; mas nunca “esqueça” de excluir valores que tornem algum denominador zero antes da simplificação.
  • Você está indo bem; composições viram rotina com prática — faça mais umas 3 composicões parecidas para fixar.

Resposta

(f\circ g)(x)=\dfrac{1}{(x-1)^{2}}-1=\dfrac{2x-x^{2}}{(x-1)^{2}},\quad \mathrm{Dom}(f\circ g)=\mathbb{R}\setminus\{1\}
(g\circ f)(x)=\dfrac{1}{x^{2}-2},\quad \mathrm{Dom}(g\circ f)=\mathbb{R}\setminus\{\,-\sqrt{2},\sqrt{2}\,\}

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