Para as funções dadas a seguir, encontre as funções
e
e o domínio de cada uma delas.
e
.
Passo 1
O enunciado dá duas funções e pede duas composições e os domínios delas. As informações fornecidas são:
-
. -
.
As perguntas que vamos responder:
- Encontrar
e o domínio de . - Encontrar
e o domínio de .
Passo 2
O que é composição de funções e como cuidar do domínio (explicação didática):
- Composição:
significa primeiro calcular e depois aplicar ao resultado; por definição
- Regra do domínio para
: um número pertence ao domínio de se e somente se: -
pertence ao domínio de (ou seja, é definido); e -
pertence ao domínio de (ou seja, ao aplicar obtemos um valor no domínio de ).
-
- De forma análoga,
e o domínio exige que esteja no domínio de e que esteja no domínio de .
Observações práticas úteis para prova:
- Para polinômios (como
) o domínio é todo . - Para uma função racional
, deve-se excluir valores que anulem o denominador. - Ao simplificar uma expressão algébrica, cuidado: mesmo que uma simplificação cancele fatores, o domínio original (valores excluídos por zeros de denominador antes da simplificação) continua excluído — a exclusão não “volta” automaticamente.
Passo 3
Calcular
passo a passo.
- Primeiro escrever
:
- Substituir
na expressão de , que é aplicada a :
- Desenvolver a expressão para ficar num único quociente (opção útil para ver domínio e simplificar):
Agora colocar em denominador comum
:
- Expandir o numerador para simplificar:
- Logo uma forma simplificada é
Também se pode escrever
.
- Determinar o domínio de
:
- Primeiro,
exige , ou seja . - O polinômio
aceita qualquer real como entrada, então a única restrição vem de . - Verificar se alguma simplificação removeu a restrição
: não houve cancelamento de fator (o denominador é e o numerador não tem esse fator), portanto a restrição permanece.
Conclusão do passo: a expressão e o domínio de
são os encontrados acima.
Passo 4
Calcular
passo a passo.
- Primeiro escrever
:
- Substituir
na expressão de com :
- Simplificar o denominador:
portanto
- Determinar o domínio de
:
-
é definido para todo . -
exige que ; aqui , então devemos ter . - Resolver
para ver quais são proibidos:
- Conferindo com a expressão
: o denominador anula para , ou seja . Então devemos excluir esses dois valores. - Portanto o domínio de
é todos os reais exceto .
Passo 5
Resumo final e dicas rápidas (ânimo e lembrete prático):
- Para composições, sempre verificar primeiro domínio da função interna (aquela aplicada diretamente em
) e depois se o resultado cai em pontos proibidos da função externa. - Se der para escrever a expressão de maneira simples (como fizemos), ótimo; mas nunca “esqueça” de excluir valores que tornem algum denominador zero antes da simplificação.
- Você está indo bem; composições viram rotina com prática — faça mais umas 3 composicões parecidas para fixar.