Para as funções dadas a seguir, encontre as funções
e
e o domínio de cada uma delas.
e
.
Passo 1
O enunciado dá as duas funções e pede duas coisas:
- Funções compostas
e . - Domínio de cada uma dessas funções compostas.
As informações dadas são:
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa composição e como determinar o domínio de uma composição.
- Definição de composição:
significa "aplicar em e depois aplicar " — formalmente
Analogamente,
- Regra do domínio da composição: o domínio de
é o conjunto
Ou seja, só faz sentido compor em valores de
que estão no domínio de
e tal que o valor
esteja no domínio de
.
Agora vamos ver os domínios individuais das funções dadas:
Passo 3
Vamos calcular
passo a passo substituindo
dentro de
.
Escrevendo
como uma “variável intermediária”
e lembrando que
, temos:
Agora substitui
:
Fazendo a distributiva e simplificando:
Passo 4
Determinar o domínio de
.
Usando a regra do domínio da composição:
.
Aqui
e
. Além disso
assume qualquer valor real quando
varia em
. Portanto todo
satisfaz
, logo
Passo 5
Agora calculamos
passo a passo.
Escrevendo
como
e lembrando
, temos:
Substituindo
:
Simplificando:
Passo 6
Determinar o domínio de
.
Novamente,
e
. Como
produz qualquer número real quando
varia em
, todo
satisfaz
. Portanto