Para as funções dadas a seguir, encontre as funções (f \circ g)(x)=f(g(x)) e (g \circ f)=g(f(x)) e o domínio de cada uma delas.
f(x)=3 x+2 e g(x)=x-1.

Passo 1

O enunciado dá as duas funções e pede duas coisas:
  • Funções compostas (f\circ g)(x)=f(g(x)) e (g\circ f)(x)=g(f(x)).
  • Domínio de cada uma dessas funções compostas.
As informações dadas são:
f(x)=3x+2,\qquad g(x)=x-1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa composição e como determinar o domínio de uma composição.
  • Definição de composição: (f\circ g)(x) significa "aplicar g em x e depois aplicar f" — formalmente
(f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big).
Analogamente,
(g\circ f)(x)=g\big(f(x)\big).
  • Regra do domínio da composição: o domínio de (f\circ g) é o conjunto
\{x\in\operatorname{dom}(g)\mid g(x)\in\operatorname{dom}(f)\}.
Ou seja, só faz sentido compor em valores de x que estão no domínio de g e tal que o valor g(x) esteja no domínio de f.
Agora vamos ver os domínios individuais das funções dadas:
f(x)=3x+2 \quad\text{é um polinômio linear, logo}\quad \operatorname{dom}(f)=\mathbb{R},éô
g(x)=x-1 \quad\text{é também um polinômio linear, logo}\quad \operatorname{dom}(g)=\mathbb{R}.ééô

Passo 3

Vamos calcular (f\circ g)(x)=f(g(x)) passo a passo substituindo g(x) dentro de f.
Escrevendo g(x) como uma “variável intermediária” t=g(x)=x-1 e lembrando que f(t)=3t+2, temos:
(f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big)=f(t)=3t+2.
Agora substitui t=x-1:
(f\circ g)(x)=3(x-1)+2.
Fazendo a distributiva e simplificando:
3(x-1)+2=3x-3+2=3x-1.

Passo 4

Determinar o domínio de (f\circ g).
Usando a regra do domínio da composição: \operatorname{dom}(f\circ g)=\{x\in\operatorname{dom}(g)\mid g(x)\in\operatorname{dom}(f)\}.
Aqui \operatorname{dom}(g)=\mathbb{R} e \operatorname{dom}(f)=\mathbb{R}. Além disso g(x)=x-1 assume qualquer valor real quando x varia em \mathbb{R}. Portanto todo x\in\mathbb{R} satisfaz g(x)\in\mathbb{R}, logo
\operatorname{dom}(f\circ g)=\mathbb{R}.

Passo 5

Agora calculamos (g\circ f)(x)=g(f(x)) passo a passo.
Escrevendo f(x) como t=f(x)=3x+2 e lembrando g(t)=t-1, temos:
(g\circ f)(x)=g\big(f(x)\big)=g(t)=t-1.
Substituindo t=3x+2:
(g\circ f)(x)=3x+2-1.
Simplificando:
3x+2-1=3x+1.

Passo 6

Determinar o domínio de (g\circ f).
Novamente, \operatorname{dom}(f)=\mathbb{R} e \operatorname{dom}(g)=\mathbb{R}. Como f(x)=3x+2 produz qualquer número real quando x varia em \mathbb{R}, todo x\in\mathbb{R} satisfaz f(x)\in\mathbb{R}. Portanto
\operatorname{dom}(g\circ f)=\mathbb{R}.

Resposta

(f\circ g)(x)=3x-1,\\ \operatorname{dom}(f\circ g)=\mathbb{R}
(g\circ f)(x)=3x+1,\\ \operatorname{dom}(g\circ f)=\mathbb{R}

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