Demonstre, usando indução, que as desigualdades a seguir são verdadeiras:
(g)
, para todo inteiro
.
(g)
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução, que a desigualdade
é verdadeira para todo inteiro
satisfazendo
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A desigualdade a ser demonstrada é
. - O domínio em que devemos provar é: inteiros
com .
Pedido claro: mostrar que para todo inteirovale , usando o princípio da indução.
Passo 2
O que é indução (explicação curta e didática): prova por indução funciona em duas etapas essenciais:
- Base da indução: verificar que a propriedade é verdadeira para o primeiro valor da sequência (aqui
). - Passo indutivo: assumir que a propriedade é verdadeira para um certo inteiro arbitrário
(hipótese de indução) e então provar que ela é verdadeira para .
Se essas duas etapas forem feitas, conclui-se que a propriedade vale para todo. Vou aplicar exatamente esse esquema, explicando cada manipulação.
Passo 3
Base da indução (
). Calcular os dois lados da desigualdade:
Como
, a desigualdade
é verdadeira para
. Portanto a base da indução está verificada.
Passo 4
Hipótese de indução. Suponha que para algum inteiro fixo
com
seja verdadeira a desigualdade:
Esta é a hipótese que vamos usar para provar que a desigualdade vale também para
.
Passo 5
Transformação usando a hipótese. Multiplicamos a desigualdade da hipótese por
(essa operação é permitida e preserva a desigualdade porque
):
Escrevendo de forma mais limpa:
Passo 6
Comparar
com
. Calculamos a diferença:
Como estamos assumindo
, temos
, portanto
. Assim
Combinando com o resultado do passo anterior
, obtemos, por transitividade:
ou seja,
Isso completa o passo indutivo: a verdade para
implica a verdade para
.
Passo 7
Conclusão por indução. Verificamos a base (
) e mostramos que, se a desigualdade vale para um
, então vale para
. Pelo princípio da indução matemática, concluímos que a desigualdade
é verdadeira para todo inteiro
.
Resposta
A desigualdade
é verdadeira para todo inteiro
.