Demonstre, usando indução, que as desigualdades a seguir são verdadeiras:
(g) 2^{n}>5 n, para todo inteiro n \geq 5.

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução, que a desigualdade \,2^{n}>5n\, é verdadeira para todo inteiro n satisfazendo \,n\ge 5.
Informações dadas:
  • A desigualdade a ser demonstrada é \,2^{n}>5n\,.
  • O domínio em que devemos provar é: inteiros n com \,n\ge 5.
    Pedido claro: mostrar que para todo inteiro n\ge 5 vale \,2^{n}>5n, usando o princípio da indução.

Passo 2

O que é indução (explicação curta e didática): prova por indução funciona em duas etapas essenciais:
  1. Base da indução: verificar que a propriedade é verdadeira para o primeiro valor da sequência (aqui n=5).
  2. Passo indutivo: assumir que a propriedade é verdadeira para um certo inteiro arbitrário k\ge 5 (hipótese de indução) e então provar que ela é verdadeira para k+1.
    Se essas duas etapas forem feitas, conclui-se que a propriedade vale para todo n\ge 5. Vou aplicar exatamente esse esquema, explicando cada manipulação.

Passo 3

Base da indução ( n=5). Calcular os dois lados da desigualdade:
2^{5}=32
5\cdot 5=25
Como 32>25, a desigualdade \,2^{n}>5n\, é verdadeira para n=5. Portanto a base da indução está verificada.

Passo 4

Hipótese de indução. Suponha que para algum inteiro fixo k com \,k\ge 5 seja verdadeira a desigualdade:
2^{k}>5k.
Esta é a hipótese que vamos usar para provar que a desigualdade vale também para k+1.

Passo 5

Transformação usando a hipótese. Multiplicamos a desigualdade da hipótese por 2 (essa operação é permitida e preserva a desigualdade porque 2>0):
2\cdot 2^{k} > 2\cdot 5k.
Escrevendo de forma mais limpa:
2^{k+1} > 10k.

Passo 6

Comparar 10k com 5(k+1). Calculamos a diferença:
10k - 5(k+1) = 10k - 5k - 5 = 5(k-1).
Como estamos assumindo k\ge 5, temos k-1\ge 4, portanto 5(k-1)\ge 20>0. Assim
10k > 5(k+1).
Combinando com o resultado do passo anterior \,2^{k+1} > 10k\,, obtemos, por transitividade:
2^{k+1} > 10k > 5(k+1),
ou seja,
2^{k+1} > 5(k+1).
Isso completa o passo indutivo: a verdade para k implica a verdade para k+1.

Passo 7

Conclusão por indução. Verificamos a base ( n=5) e mostramos que, se a desigualdade vale para um k\ge 5, então vale para k+1. Pelo princípio da indução matemática, concluímos que a desigualdade
2^{n} > 5n
é verdadeira para todo inteiro n\ge 5.

Resposta

A desigualdade \,2^{n}>5n\, é verdadeira para todo inteiro n\ge 5.

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