Para as funções dadas a seguir, encontre as funções
e
e o domínio de cada uma delas.
e
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para as funções dadas:
- Encontrar
e seu domínio. - Encontrar
e seu domínio.
As informações fornecidas são:
-
. -
.
Dados úteis que vamos usar (aqui só listando, sem resolver ainda):
- O domínio natural de
(pela raiz quadrada) é tais que . - O domínio natural de
(pela divisão) é tais que .
Passo 2
Vamos construir
por substituição direta: primeiro calcula-se
e em seguida aplica-se
ao resultado.
Explicando cada símbolo:
é a raiz quadrada de
. Na expressão acima,
está no denominador, então não pode ser zero.
Passo 3
Agora determinamos o domínio de
. Regra prática: o domínio de
é o conjunto dos
que pertencem ao domínio de
e tal que
pertence ao domínio de
.
- Domínio de
: . - Domínio de
: , onde escrevo a variável do como para não confundir. - Então exigimos
, ou seja . Resolver dá .
Combinando:
deve satisfazer
e
. Assim o domínio é
Observação técnica útil (para a prova): pode-se racionalizar a expressão para escrita alternativa. Multiplicando numerador e denominador por
,
Essa forma é algebricamente equivalente para
. Mesmo que apareça
no denominador aqui, o ponto
continua excluído (pois vem da exigência
).
Passo 4
Agora construímos
. Substituição direta:
Aqui o que está dentro da raiz é
; para que a raiz quadrada real exista, esse conteúdo precisa ser maior ou igual a zero.
Passo 5
Determinamos o domínio de
. Regra prática: o domínio de
é o conjunto dos
que pertencem ao domínio de
e tal que
pertence ao domínio de
.
- Domínio de
: (pois não podemos dividir por zero). - Condição adicional:
deve satisfazer .
Vamos resolver a desigualdade
. O numerador é
sempre, então o sinal do quociente depende do sinal do denominador
:
- Se
(ou seja ), então — permitido. - Se
(ou seja ), então — proibido, porque raiz de número negativo não é real. -
é proibido por fazer divisão por zero.
Portanto a condição
e
se resumem a
. Logo
Passo 6
Resumo final das expressões (sem comentários):
(equivalente a
) com domínio
.
com domínio
.
Força aí — esse tipo de questão cai muito em prova e a estratégia é sempre: primeiro substituir, depois verificar domínio do interno e se o resultado está no domínio do externo. Se quiser, eu te dou mais exemplos rápidos para praticar 3 em 5 minutos! 😉