Para as funções dadas a seguir, encontre as funções (f \circ g)(x)=f(g(x)) e (g \circ f)=g(f(x)) e o domínio de cada uma delas.
f(x)=\frac{1}{x-1} e g(x)=\sqrt{x}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para as funções dadas:
  • Encontrar (f\circ g)(x)=f(g(x)) e seu domínio.
  • Encontrar (g\circ f)(x)=g(f(x)) e seu domínio.
As informações fornecidas são:
  • f(x)=\dfrac{1}{x-1}.
  • g(x)=\sqrt{x}.
Dados úteis que vamos usar (aqui só listando, sem resolver ainda):
  • O domínio natural de g (pela raiz quadrada) é x tais que x\ge 0.
  • O domínio natural de f (pela divisão) é x tais que x\neq 1.

Passo 2

Vamos construir (f\circ g)(x) por substituição direta: primeiro calcula-se g(x) e em seguida aplica-se f ao resultado.
(f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big)=f\big(\sqrt{x}\big)=\frac{1}{\sqrt{x}-1}.
Explicando cada símbolo: \sqrt{x} é a raiz quadrada de x. Na expressão acima, \sqrt{x}-1 está no denominador, então não pode ser zero.

Passo 3

Agora determinamos o domínio de (f\circ g). Regra prática: o domínio de f\circ g é o conjunto dos x que pertencem ao domínio de g e tal que g(x) pertence ao domínio de f.
  1. Domínio de g: \{x\mid x\ge 0\}.
  2. Domínio de f: \{t\mid t\neq 1\}, onde escrevo a variável do f como t para não confundir.
  3. Então exigimos g(x)\neq 1, ou seja \sqrt{x}\neq 1. Resolver \sqrt{x}=1 x=1.
Combinando: x deve satisfazer x\ge 0 e x\neq 1. Assim o domínio é
\operatorname{dom}(f\circ g)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\ge 0,\\ x\neq 1\}=[0,\infty)\setminus\{1\}.
Observação técnica útil (para a prova): pode-se racionalizar a expressão para escrita alternativa. Multiplicando numerador e denominador por \sqrt{x}+1,
\frac{1}{\sqrt{x}-1}\cdot\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}+1}{x-1}.
Essa forma é algebricamente equivalente para x\neq1. Mesmo que apareça x-1 no denominador aqui, o ponto x=1 continua excluído (pois vem da exigência \sqrt{x}\neq1).

Passo 4

Agora construímos (g\circ f)(x)=g(f(x)). Substituição direta:
(g\circ f)(x)=g\big(f(x)\big)=g\!\left(\frac{1}{x-1}\right)=\sqrt{\frac{1}{x-1}}.
Aqui o que está dentro da raiz é \dfrac{1}{x-1}; para que a raiz quadrada real exista, esse conteúdo precisa ser maior ou igual a zero.

Passo 5

Determinamos o domínio de (g\circ f). Regra prática: o domínio de g\circ f é o conjunto dos x que pertencem ao domínio de f e tal que f(x) pertence ao domínio de g.
  1. Domínio de f: \{x\mid x\neq 1\} (pois não podemos dividir por zero).
  2. Condição adicional: f(x)=\dfrac{1}{x-1} deve satisfazer \dfrac{1}{x-1}\ge 0.
Vamos resolver a desigualdade \dfrac{1}{x-1}\ge 0. O numerador é 1>0 sempre, então o sinal do quociente depende do sinal do denominador x-1:
  • Se x-1>0 (ou seja x>1), então \dfrac{1}{x-1}>0 — permitido.
  • Se x-1<0 (ou seja x<1), então \dfrac{1}{x-1}<0 — proibido, porque raiz de número negativo não é real.
  • x=1 é proibido por fazer divisão por zero.
Portanto a condição \dfrac{1}{x-1}\ge 0 e x\neq1 se resumem a x>1. Logo
\operatorname{dom}(g\circ f)=\{x\in\mathbb{R}\mid x>1\}=(1,\infty).

Passo 6

Resumo final das expressões (sem comentários): (f\circ g)(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}-1} (equivalente a \dfrac{\sqrt{x}+1}{x-1}) com domínio [0,\infty)\setminus\{1\}. (g\circ f)(x)=\sqrt{\dfrac{1}{x-1}} com domínio (1,\infty).
Força aí — esse tipo de questão cai muito em prova e a estratégia é sempre: primeiro substituir, depois verificar domínio do interno e se o resultado está no domínio do externo. Se quiser, eu te dou mais exemplos rápidos para praticar 3 em 5 minutos! 😉

Resposta

(f\circ g)(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}=\dfrac{\sqrt{x}+1}{x-1},\quad \operatorname{dom}(f\circ g)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\ge 0,\\ x\ne 1\}=[0,\infty)\setminus\{1\}\n
(g\circ f)(x)=\sqrt{\dfrac{1}{x-1}},\quad \operatorname{dom}(g\circ f)=\{x\in\mathbb{R}\mid x>1\}=(1,\infty)

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