Para as funções dadas a seguir, encontre as funções (f \circ g)(x)=f(g(x)) e (g \circ f)=g(f(x)) e o domínio de cada uma delas.
f(x)=x^{2}-2 e g(x)=\sqrt{x+1}.

Passo 1

O enunciado nos dá as duas funções e pede duas composições e os domínios delas. As informações fornecidas são:
f(x)=x^{2}-2.
g(x)=\sqrt{x+1}.
As perguntas são:
  1. Encontrar (f\circ g)(x)=f(g(x)) e o domínio de (f\circ g).
  2. Encontrar (g\circ f)(x)=g(f(x)) e o domínio de (g\circ f).

Passo 2

Primeiro, uma palavrinha sobre composição de funções e domínio (explicando passo a passo).
  • Definição de composição: para funções f e g,
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr).
Isto significa: primeiro calcula-se g(x) e depois aplica-se f ao resultado.
  • Regra do domínio da composição: um número x pertence ao domínio de f\circ g exatamente quando
    1. x pertence ao domínio de g (ou seja, g(x) existe), e
    2. g(x) pertence ao domínio de f (ou seja, é possível aplicar f ao valor g(x)).
      Em símbolos:
\mathrm{Dom}(f\circ g)=\{x\in\mathrm{Dom}(g)\mid g(x)\in\mathrm{Dom}(f)\}.
A mesma ideia vale trocando f por g para \mathrm{Dom}(g\circ f).

Passo 3

Analisando domínios individuais (sem resolver nada ainda, só identificar o que pode limitar as composições):
  • f(x)=x^{2}-2 é um polinômio; polinômios estão definidos para todo x\in\mathbb{R}. Logo
\mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}.
  • g(x)=\sqrt{x+1} envolve uma raiz quadrada principal. Para que g(x) seja real, o radicando deve ser não negativo:
x+1\ge 0.
Isso significa que g(x) só está definido para x que satisfazem essa desigualdade (vamos resolver explicitamente a desigualdade quando for necessário para cada composição).

Passo 4

Calcular (f\circ g)(x) por substituição direta e simplificar passo a passo:
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr)=\bigl(g(x)\bigr)^{2}-2.
Agora substitui-se g(x)=\sqrt{x+1}:
(f\circ g)(x)=\bigl(\sqrt{x+1}\bigr)^{2}-2.
Propriedade importante sobre a raiz quadrada principal: para todo x tal que x+1\ge 0, tem-se \bigl(\sqrt{x+1}\bigr)^{2}=x+1 (pois a raiz quadrada principal retorna o número não negativo cuja quadrado é o radicando). Assim, para os x onde g(x) existe,
(f\circ g)(x)=x+1-2=x-1.
Portanto a expressão algébrica simplificada de (f\circ g)(x) é x-1, mas atenção: essa fórmula só vale para os x onde a composição está definida (ou seja, onde g(x) existe e depois f(g(x)) também existe).

Passo 5

Determinar o domínio de (f\circ g) usando a regra do Passo 2:
  • Primeiro, x deve estar em \mathrm{Dom}(g). Como vimos, isso exige x+1\ge 0, isto é,
x\ge -1.
  • Segundo, g(x) deve estar em \mathrm{Dom}(f). Mas \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}, então qualquer valor real de g(x) serve.
    Logo a única restrição vem de g. Portanto
\mathrm{Dom}(f\circ g)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\ge -1\}=[-1,\infty).
Resumo: (f\circ g)(x)=x-1 para todo x\in[-1,\infty).

Passo 6

Agora calcular (g\circ f)(x) por substituição direta e simplificar passo a passo:
(g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr)=\sqrt{\,f(x)+1\,}.
Substitui-se f(x)=x^{2}-2:
(g\circ f)(x)=\sqrt{\,x^{2}-2+1\,}=\sqrt{\,x^{2}-1\,}.
Essa é a forma simplificada. Novamente, atenção ao domínio: a raiz quadrada exige que o radicando seja não negativo.

Passo 7

Determinar o domínio de (g\circ f) resolvendo a desigualdade do radicando:
x^{2}-1\ge 0.
Resolver passo a passo:
x^{2}-1=(x-1)(x+1)\ge 0.
A solução da desigualdade produto é obtida observando os zeros x=-1 e x=1 e testando intervalos, ou usando a ideia |x|\ge 1. Assim:
x^{2}\ge 1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|\ge 1 \quad\Longleftrightarrow\quad x\le -1\\ \text{ou}\\ x\ge 1.
Portanto
\mathrm{Dom}(g\circ f)=(-\infty,-1]\cup[1,\infty).
Resumo: (g\circ f)(x)=\sqrt{x^{2}-1} para todo x\in(-\infty,-1]\cup[1,\infty).

Passo 8

Pequena checagem rápida com exemplos (para ganhar confiança):
  • Para x=-1: g(-1)=\sqrt{-1+1}=0, f(g(-1))=f(0)=0^{2}-2=-2. A expressão simplificada dá (-1)-1=-2. OK.
  • Para x=0: g(0)=\sqrt{1}=1, f(g(0))=f(1)=1-2=-1. A expressão simplificada dá 0-1=-1. OK.
  • Para g\circ f, para x=2: f(2)=4-2=2, g(f(2))=\sqrt{2+1}=\sqrt{3} e \sqrt{2^{2}-1}=\sqrt{3}. OK.

Resposta

(f\circ g)(x)=x-1,\quad \mathrm{Dom}(f\circ g)=[-1,\infty)\n (g\circ f)(x)=\sqrt{x^{2}-1},\quad \mathrm{Dom}(g\circ f)=(-\infty,-1]\cup[1,\infty)

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