Para as funções dadas a seguir, encontre as funções
e
e o domínio de cada uma delas.
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá as duas funções e pede duas composições e os domínios delas. As informações fornecidas são:
.
.
As perguntas são:
As perguntas são:
- Encontrar
e o domínio de . - Encontrar
e o domínio de .
Passo 2
Primeiro, uma palavrinha sobre composição de funções e domínio (explicando passo a passo).
- Definição de composição: para funções
e ,
Isto significa: primeiro calcula-se
e depois aplica-se
ao resultado.
- Regra do domínio da composição: um número
pertence ao domínio de exatamente quando -
pertence ao domínio de (ou seja, existe), e -
pertence ao domínio de (ou seja, é possível aplicar ao valor ).
Em símbolos:
-
A mesma ideia vale trocando
por
para
.
Passo 3
Analisando domínios individuais (sem resolver nada ainda, só identificar o que pode limitar as composições):
-
é um polinômio; polinômios estão definidos para todo . Logo
-
envolve uma raiz quadrada principal. Para que seja real, o radicando deve ser não negativo:
Isso significa que
só está definido para
que satisfazem essa desigualdade (vamos resolver explicitamente a desigualdade quando for necessário para cada composição).
Passo 4
Calcular
por substituição direta e simplificar passo a passo:
Agora substitui-se
:
Propriedade importante sobre a raiz quadrada principal: para todo
tal que
, tem-se
(pois a raiz quadrada principal retorna o número não negativo cuja quadrado é o radicando). Assim, para os
onde
existe,
Portanto a expressão algébrica simplificada de
é
, mas atenção: essa fórmula só vale para os
onde a composição está definida (ou seja, onde
existe e depois
também existe).
Passo 5
Determinar o domínio de
usando a regra do Passo 2:
- Primeiro,
deve estar em . Como vimos, isso exige , isto é,
- Segundo,
deve estar em . Mas , então qualquer valor real de serve.
Logo a única restrição vem de. Portanto
Resumo:
para todo
.
Passo 6
Agora calcular
por substituição direta e simplificar passo a passo:
Substitui-se
:
Essa é a forma simplificada. Novamente, atenção ao domínio: a raiz quadrada exige que o radicando seja não negativo.
Passo 7
Determinar o domínio de
resolvendo a desigualdade do radicando:
Resolver passo a passo:
A solução da desigualdade produto é obtida observando os zeros
e
e testando intervalos, ou usando a ideia
. Assim:
Portanto
Resumo:
para todo
.
Passo 8
Pequena checagem rápida com exemplos (para ganhar confiança):
- Para
: , . A expressão simplificada dá . OK. - Para
: , . A expressão simplificada dá . OK. - Para
, para : , e . OK.