(Funções Elementares e Euler) Mostre as seguintes relações fundamentais:
\cos (z)=\frac{e^{i z}+e^{-i z}}{2}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a relação
\cos(z)=\frac{e^{i z}+e^{-i z}}{2}
ou seja, provar que a função cosseno complexa pode ser escrita em termos da exponencial complexa. Não há dados adicionais — a igualdade deve valer para todo z\in\mathbb{C}.

Passo 2

Vamos lembrar as definições em termos de séries de potência (isso é fundamental e é a forma mais simples e rigorosa para trabalhar com funções complexas sem recorrer a argumentos geométricos). As definições que vou usar são:
  • A exponencial complexa é definida por sua série de Taylor:
e^{w}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{w^{n}}{n!},
para todo w\in\mathbb{C}.
  • O cosseno complexo é definido por sua série de Taylor:
\cos(z)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{z^{2n}}{(2n)!},
para todo z\in\mathbb{C}.
Explicando as variáveis: w e z são números complexos; n! é o fatorial de n. Essas séries têm raio de convergência infinito (ou seja, convergem para todo w e todo z), o que nos permite fazer operações termo a termo (somar, subtrair, agrupar termos) de forma segura.

Passo 3

Agora substituímos w=iz na série da exponencial para obter e^{iz}:
e^{iz}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(iz)^{n}}{n!}.
Observe que i^{n} tem comportamento periódico: i^{2n}=(-1)^{n} e i^{2n+1}=i(-1)^{n}. Podemos separar a soma em termos de n pares e ímpares:
escrevendo explicitamente os pares:
e^{iz}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(iz)^{n}}{n!} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(iz)^{2n}}{(2n)!}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(iz)^{2n+1}}{(2n+1)!}.
Usando i^{2n}=(-1)^{n} e i^{2n+1}=i(-1)^{n}, isso vira
e^{iz}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{z^{2n}}{(2n)!}+i\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}.

Passo 4

Fazendo o mesmo para e^{-iz}, com w=-iz:
e^{-iz}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-iz)^{n}}{n!} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-iz)^{2n}}{(2n)!}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-iz)^{2n+1}}{(2n+1)!}.
Agora (-i)^{2n}=(-1)^{2n}i^{2n}=(-1)^{n} (porque (-i)^{2n}=((-i)^2)^n=(-1)^n) e (-i)^{2n+1}=(-i)(-i)^{2n}=-i(-1)^{n}. Portanto
e^{-iz}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{z^{2n}}{(2n)!}-i\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}.

Passo 5

Somando as duas expressões e^{iz} e e^{-iz} termo a termo (isso é permitido porque as séries convergem absolutamente), os somatórios das partes ímpares se cancelam e as partes pares se dobram. Escrevendo:
e^{iz}+e^{-iz} = \left(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{z^{2n}}{(2n)!}+i\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}\right) + \left(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{z^{2n}}{(2n)!}-i\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}\right).
Ao somar, os termos com i (os de ordem ímpar) aparecem com sinais opostos e se anulam, ficando apenas
e^{iz}+e^{-iz}=2\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{z^{2n}}{(2n)!}.

Passo 6

Reconhecendo a série do cosseno na soma do lado direito: pela definição em série que demos no Passo 2,
\cos(z)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{z^{2n}}{(2n)!}.
Portanto da igualdade do Passo 5 obtemos
e^{iz}+e^{-iz}=2\cos(z).

Passo 7

Dividindo ambos os lados por 2 chegamos à relação desejada:
\cos(z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}.
Justificativa final: tudo acima vale para todo z\in\mathbb{C} porque as séries envolvidas têm raio de convergência infinito, então as operações termo a termo (separar pares/ímpares, somar séries, cancelar termos) são válidas.

Resposta

\cos(z)=\frac{e^{i z}+e^{-i z}}{2}

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