(Funções Elementares e Euler) Mostre as seguintes relações fundamentais:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a relação
ou seja, provar que a função cosseno complexa pode ser escrita em termos da exponencial complexa. Não há dados adicionais — a igualdade deve valer para todo
.
Passo 2
Vamos lembrar as definições em termos de séries de potência (isso é fundamental e é a forma mais simples e rigorosa para trabalhar com funções complexas sem recorrer a argumentos geométricos). As definições que vou usar são:
- A exponencial complexa é definida por sua série de Taylor:
para todo
.
- O cosseno complexo é definido por sua série de Taylor:
para todo
.
Explicando as variáveis:
e
são números complexos;
é o fatorial de
. Essas séries têm raio de convergência infinito (ou seja, convergem para todo
e todo
), o que nos permite fazer operações termo a termo (somar, subtrair, agrupar termos) de forma segura.
Passo 3
Agora substituímos
na série da exponencial para obter
:
Observe que
tem comportamento periódico:
e
. Podemos separar a soma em termos de
pares e ímpares:
escrevendo explicitamente os pares:
Usando
e
, isso vira
Passo 4
Fazendo o mesmo para
, com
:
Agora
(porque
) e
. Portanto
Passo 5
Somando as duas expressões
e
termo a termo (isso é permitido porque as séries convergem absolutamente), os somatórios das partes ímpares se cancelam e as partes pares se dobram. Escrevendo:
Ao somar, os termos com
(os de ordem ímpar) aparecem com sinais opostos e se anulam, ficando apenas
Passo 6
Reconhecendo a série do cosseno na soma do lado direito: pela definição em série que demos no Passo 2,
Portanto da igualdade do Passo 5 obtemos
Passo 7
Dividindo ambos os lados por
chegamos à relação desejada:
Justificativa final: tudo acima vale para todo
porque as séries envolvidas têm raio de convergência infinito, então as operações termo a termo (separar pares/ímpares, somar séries, cancelar termos) são válidas.