(Teorema Integral de Cauchy) Avalie
onde
é o círculo
:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pede-se avaliar o integral de contorno
. - O caminho
é o círculo (orientado positivamente, isto é, sentido anti-horário). - A função é
.
Portanto, a pergunta concreta é: qual é o valor dequando é o círculo unitário?
Passo 2
Plano de ataque (sem resolver ainda): existem pelo menos duas formas naturais e simples de atacar esse problema:
- Usar o fato de que
é inteira (não tem singularidades em nenhum ponto do plano) e aplicar o resultado que diz que a integral de uma função holomorfa ao longo de um contorno fechado em uma região simplesmente conexa é zero. Esta é a solução curta e conceitual. - Fazer a expansão em série de potências de
, integrar termo a termo e usar o cálculo direto de . Esta forma é mais elementar e mostra “na prática” por que dá zero. Vou mostrar as duas para você aprender ambas as formas — a curta (teorema) e a mão na massa (série).
Passo 3
Método 1 — argumento com o teorema (solução conceitual):
- Explicar o que significa dizer que
é inteira: isso quer dizer que é diferenciável em todo ponto do plano complexo; em outras palavras, não tem singularidades (pontos problemáticos). - Há um resultado (o teorema de integrabilidade para funções holomorfas em domínios simplesmente conexos) que afirma que se uma função é holomorfa em e sobre uma região que contém um caminho fechado
, então
- Como
é holomorfa em todo o plano e o círculo está contido no plano inteiro, os requisitos do teorema estão satisfeitos. Logo,
Isso já resolve o problema. Agora eu mostro o método alternativo, passo a passo, que dá intuição.
Passo 4
Método 2 — expansão em série e cálculo direto (mais elementar e detalhado):
- Primeiro, lembrar a série de potências da exponencial (válida para todo
):
Aqui cada termo é
e a série converge para todo
(raio de convergência infinito).
- Justificar trocar soma e integral: a série converge uniformemente sobre o círculo compacto
, então é permitido integrar termo a termo:
Agora temos que calcular cada integral
.
- Calcular
explicitamente usando parametrização do círculo: tomar com . Então e
- Integrar a exponencial trigonométrica:
- Observar que
é inteiro não negativo aqui, logo . Assim
(Nota didática: o único caso que daria um resultado não nulo seria
, pois
; mas a série de
não tem termos com potências negativas.)
- Voltando à soma:
Portanto novamente obtemos que
Passo 5
Interpretação final e dica para a prova:
- Em provas, o caminho mais rápido é notar que
é holomorfa em todo o plano e aplicar o teorema que diz que integral de contorno fechado de função holomorfa é zero. - Se a prova exigir cálculo direto ou o examinador quer ver desenvolvimento, use a expansão em série e o fato de que apenas termos
contribuem para a integral de contorno; como não há na série de , dá zero.