(Teorema Integral de Cauchy) Avalie
\oint_{C} f(z) d z onde C é o círculo |z|=1 :
f(z)=e^{z}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede-se avaliar o integral de contorno \displaystyle \oint_{C} f(z)\,dz.
  • O caminho C é o círculo \lvert z\rvert=1 (orientado positivamente, isto é, sentido anti-horário).
  • A função é f(z)=e^{z}.
    Portanto, a pergunta concreta é: qual é o valor de \displaystyle \oint_{C} e^{z}\,dz quando C é o círculo unitário?

Passo 2

Plano de ataque (sem resolver ainda): existem pelo menos duas formas naturais e simples de atacar esse problema:
  1. Usar o fato de que e^{z} é inteira (não tem singularidades em nenhum ponto do plano) e aplicar o resultado que diz que a integral de uma função holomorfa ao longo de um contorno fechado em uma região simplesmente conexa é zero. Esta é a solução curta e conceitual.
  2. Fazer a expansão em série de potências de e^{z}, integrar termo a termo e usar o cálculo direto de \displaystyle \oint_{C} z^{n}\,dz. Esta forma é mais elementar e mostra “na prática” por que dá zero. Vou mostrar as duas para você aprender ambas as formas — a curta (teorema) e a mão na massa (série).

Passo 3

Método 1 — argumento com o teorema (solução conceitual):
  • Explicar o que significa dizer que e^{z} é inteira: isso quer dizer que e^{z} é diferenciável em todo ponto do plano complexo; em outras palavras, não tem singularidades (pontos problemáticos).
  • Há um resultado (o teorema de integrabilidade para funções holomorfas em domínios simplesmente conexos) que afirma que se uma função é holomorfa em e sobre uma região que contém um caminho fechado C, então
\oint_{C} f(z)\,dz = 0.
  • Como e^{z} é holomorfa em todo o plano e o círculo \lvert z\rvert=1 está contido no plano inteiro, os requisitos do teorema estão satisfeitos. Logo,
\oint_{C} e^{z}\,dz = 0.
Isso já resolve o problema. Agora eu mostro o método alternativo, passo a passo, que dá intuição.

Passo 4

Método 2 — expansão em série e cálculo direto (mais elementar e detalhado):
  • Primeiro, lembrar a série de potências da exponencial (válida para todo z):
e^{z} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!}.
Aqui cada termo é \dfrac{z^{n}}{n!} e a série converge para todo z (raio de convergência infinito).
  • Justificar trocar soma e integral: a série converge uniformemente sobre o círculo compacto \lvert z\rvert=1, então é permitido integrar termo a termo:
\oint_{C} e^{z}\,dz = \oint_{C} \left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!}\right) dz = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\oint_{C} z^{n}\,dz.
Agora temos que calcular cada integral \displaystyle \oint_{C} z^{n}\,dz.
  • Calcular \displaystyle \oint_{C} z^{n}\,dz explicitamente usando parametrização do círculo: tomar z=e^{it} com t\in[0,2\pi]. Então dz = i e^{it}\,dt e
\oint_{C} z^{n}\,dz = \int_{0}^{2\pi} (e^{it})^{n}\cdot i e^{it}\,dt = i\int_{0}^{2\pi} e^{i(n+1)t}\,dt.
  • Integrar a exponencial trigonométrica:
i\int_{0}^{2\pi} e^{i(n+1)t}\,dt = i\left[\frac{e^{i(n+1)t}}{i(n+1)}\right]_{0}^{2\pi} = \frac{1}{n+1}\left(e^{i(n+1)2\pi}-1\right).
  • Observar que n é inteiro não negativo aqui, logo e^{i(n+1)2\pi}=1. Assim
\oint_{C} z^{n}\,dz = 0\quad\text{para todo }n=0,1,2,\dots
(Nota didática: o único caso que daria um resultado não nulo seria n=-1, pois \oint_{C} z^{-1}\,dz = 2\pi i; mas a série de e^{z} não tem termos com potências negativas.)
  • Voltando à soma:
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\oint_{C} z^{n}\,dz = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\cdot 0 = 0.
Portanto novamente obtemos que
\oint_{C} e^{z}\,dz = 0.

Passo 5

Interpretação final e dica para a prova:
  • Em provas, o caminho mais rápido é notar que e^{z} é holomorfa em todo o plano e aplicar o teorema que diz que integral de contorno fechado de função holomorfa é zero.
  • Se a prova exigir cálculo direto ou o examinador quer ver desenvolvimento, use a expansão em série e o fato de que apenas termos z^{-1} contribuem para a integral de contorno; como não há z^{-1} na série de e^{z}, dá zero.

Resposta

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